[論文レビュー] Maximal subgroups of countable groups, a survey

Tsachik Gelander, Yair Glasner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

有限生成の線型群がほとんど可解でない場合、プロフィニートに密な自由部分群とZornの補題を用いて、無限大指数の極大部分群が存在することを確立する。可算な原始的線型群は、ほとんど単純型であることを特徴づけ、理論をトゥーマンの群F や局所有限単純群を含む非線型群へと拡張する。これにより、無限大指数の極大部分群およびトランジティブな作用の豊かな構造が明らかになる。

ABSTRACT

This paper is a survey on the works [MS77, MS79, MS81] on maximal subgroups in finitely generated linear groups, and the works that followed it [GG08, GG13b, GG13a, Kap03, Iva92, HO16, GM16, AGS14, Sf90, Sf98, Per05, AKT16, FG18, GS17] concerning maximal subgroups of infinite index in linear groups as well as in various other groups possessing a suitable geometry or dynamics.

研究の動機と目的

• 可算な原始的線型群を特徴づけ、それらが忠実な原始的作用をもつ条件を特定すること。
• 有限生成線型群における無限大指数極大部分群の存在を解明すること。
• 線型群を超えた非線型設定、例えばトゥーマンの群F や局所有限単純群における極大部分群理論を拡張すること。
• 特に負曲率および円周／正則木の設定における群作用のトランジティビティ度を調査すること。
• 特に近接的および最小的力学系において、高次のトランジティビティの障害を同定すること。

提案手法

• 非ほとんど可解な線型群におけるプロフィニートに密な自由部分群を用い、Zornの補題を介して無限大指数極大部分群を構成する。
• 特に原始的および準原始的性質に注目した置換群論を採用し、極大部分群問題を剰余類空間上の作用に再定式化する。
• 負曲率設定におけるTitsの補題およびピングポング・ダイナミクスを応用し、高次のトランジティブ作用を構成する。
• 特に正規位相を含む群の位相を用いて、原始的および極大性条件を分析する。
• Schottky系およびSL_n(Z)におけるユニポテンツ要素を用いて例を構成し、極大部分群の個数を数える。
• 特に円周および木の境界上の作用における幾何的および力学的条件（近接性、最小性、非自由作用）を活用し、トランジティビティ度の上限を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成線型群が無限大指数極大部分群をもつのはいつか？
• RQ2 どの可算線型群が忠実な原始的または高次トランジティブ作用をもつか？
• RQ3 円周や正則木上の群作用における高次トランジティビティの構造的および力学的障害は何か？
• RQ4 非線型群、例えばトゥーマンの群F や局所有限単純群は、無限大指数極大部分群をもつか？
• RQ5 集合上の忠実な作用が、ある幾何的作用（例：S^1 や ∂T 上）の軌道と共役になる条件は何か？

主な発見

• 有限生成線型群が無限大指数極大部分群をもつのは、それがほとんど可解でない場合に限り、かつそのときに限る。
• ほとんど単純型の可算な線型群でねじれ元を含まない群は原始的であり、非同値な忠実な原始的作用を非可算個もつ。
• トゥーマンの群F は、無限大指数極大部分群を非可算個もつ。その中には有限生成のものも、そうでないものもある。これは軌道の点に依存する。
• Jonesの群 $\vec{F} < F$ は、無限大指数極大部分群であり、有限生成である。これは高次トランジティブ部分群の明確な例を提供する。
• S^1 上で最小的かつ近接的かつ異なる点の安定化部分群をもつ群作用に対して、すべての忠実な3重トランジティブ作用は、軌道作用と共役であり、4重トランジティブ作用は存在しない。
• 有限型線型でない局所有限単純群では、任意の有限部分群が真の極大部分群に含まれるという性質をもち、原始群の分類における重要なケースが解決される。