[論文レビュー] Maximal Syntactic Complexity of Regular Languages Implies Maximal Quotient Complexities of Atoms

Janusz Brzozowski, Gareth Davies|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ある正則言語の句記述的複雑さが最大（n^n）である場合、その言語は2^n個のアトムを必ず有し、それぞれのアトムが理論的な上限に達する最大の商の複雑さを達成することを確立している。証明は、最小DFAにおける状態遷移の構造に依拠し、完全な句記述的複雑さが、アトムオートマトンにおける到達可能性と結合性を最大化することを示しており、これによりすべてのアトムが理論的な複雑さの上限に達することが保証される。

ABSTRACT

We relate two measures of complexity of regular languages. The first is syntactic complexity, that is, the cardinality of the syntactic semigroup of the language. That semigroup is isomorphic to the semigroup of transformations of states induced by non-empty words in the minimal deterministic finite automaton accepting the language. If the language has n left quotients (its minimal automaton has n states), then its syntactic complexity is at most n^n and this bound is tight. The second measure consists of the quotient (state) complexities of the atoms of the language, where atoms are non-empty intersections of complemented and uncomplemented quotients. A regular language has at most 2^n atoms and this bound is tight. The maximal quotient complexity of any atom with r complemented quotients is 2^n-1, if r=0 or r=n, and 1+\sum_{k=1}^{r} \sum_{h=k+1}^{k+n-r} \binom{h}{n} \binom{k}{h}, otherwise. We prove that if a language has maximal syntactic complexity, then it has 2^n atoms and each atom has maximal quotient complexity, but the converse is false.

研究の動機と目的

• 正則言語におけるアトムの句記述的複雑さと商の複雑さの関係を調査すること。
• 句記述的複雑さが最大である場合、その正則言語のアトムが最大の複雑さを達成するかどうかを特定すること。
• 逆に、アトムの複雑さが最大である場合、句記述的複雑さも最大であるかどうかを明確にすること。
• 完全な句記述的複雑さ下でのアトムオートマトンの構造的特徴を明らかにすること。
• アトムの商の複雑さが理論的な上限に達するための条件を確立すること。

提案手法

• 最小DFAにおける空でない語が誘導する変換の半群を介して、正則言語の句記述的半群を分析すること。
• 句記述的複雑さが最大（n^n）である場合、状態集合上にすべての置換と特異変換が存在することを用いること。
• オートマトン理論的技法を用いて、アトムオートマトンにおける同型の区間同士の強い連結性と到達可能性を示すこと。
• δ_a = α ∘ δ_w という変換分解（ここでαは特異変換、δ_wは置換）を用い、アトム状態間の遷移をシミュレートすること。
• 任意の型(v,u)の区間から、型(v−1,u)または型(v,u+1)の区間に到達可能であることを証明し、最大の到達可能性を保証すること。
• 先行研究で知られているアトムの商の複雑さの上限を用い、完全な到達可能性が最大の複雑さをもたらすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 句記述的複雑さが最大（n^n）である正則言語は、必ず2^n個のアトムを有するか？
• RQ2 言語の句記述的複雑さが最大である場合、そのすべてのアトムが可能な最大の商の複雑さに達するか？
• RQ3 逆は成り立つか：すべてのアトムの商の複雑さが最大である場合、句記述的複雑さも最大であるか？
• RQ4 アトムオートマトンのどの構造的性質が商の複雑さの最大値を保証するか？
• RQ5 アトムオートマトンの到達可能性および結合性の性質は、元の言語の句記述的複雑さとどのように関係するか？

主な発見

• 句記述的複雑さがn^nである正則言語は、正確に2^n個のアトムを有し、理論的上限に達する。
• そのような言語の各アトムは、最大の可能な商の複雑さに達する：全集合および空集合のアトムでは2^n − 1、r個の補集合付きのアトムではf(n,r)。
• アトムの最大の商の複雑さは、そのアトムの最小DFAが強く連結されており、すべての到達可能な区間タイプをサポートしている場合に限り達成される。
• 証明により、完全な句記述的複雑さが、あるアトムの最小DFAにおける同じ型のすべての区間が語によって誘導される変換によって互いに到達可能であることを保証することが示された。
• 型(v−1,u)および型(v,u+1)の区間が、任意の型(v,u)の区間から到達可能であることは、到達可能な状態数が商の複雑さの既知の上限と一致することを確認している。
• 逆は成り立たない：ある言語がすべてのアトムを最大の商の複雑さに保っているとしても、句記述的複雑さが最大であるとは限らない。これは、アトムの複雑さが句記述的複雑さより厳密に弱い測度であることを示している。