[論文レビュー] Maximal varieties and the local Langlands correspondence for GL(n)

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非離散的局所体上のGL(n)に対する局所ラングランズおよびジャケット＝ラングランズ対応を、純粋に局所的な幾何的実現として与える。具体的には、無限レベルのルビン＝タウラー空間内の開アフィンイド部分集合を構成し、その還元が有限体上のに maximal な代数的多様体を与える。この多様体のコホモロジーは、非分岐なn次拡大から誘導されるウェイルパラメータを持つ超臨界的表現を実現し、明示的な重複度1の性質とラングランズ対応との整合性を示す。

ABSTRACT

The cohomology of the Lubin-Tate tower is known to realize the local Langlands correspondence for GL(n) over a nonarchimedean local field. In this article we make progress towards a purely local proof of this fact. To wit, we find a family of open affinoid subsets of Lubin-Tate space at infinite level, whose cohomology realizes the local Langlands correspondence for a broad class of supercuspidals (those whose Weil parameters are induced from an unramified degree n extension). A key role is played by a certain variety X, defined over a finite field, which is "maximal" in the sense that the number of rational points of X is the largest possible among varieties with the same Betti numbers as X. The variety X is derived from a certain unipotent algebraic group, in an analogous manner as Deligne-Lusztig varieties are derived from reductive algebraic groups.

研究の動機と目的

• GL(n)に対する局所ラングランズ対応を、コホモロジー的手段を用いて純粋に局所的な証明を与えること。
• 無限レベルのルビン＝タウラー空間内の開アフィンイド部分集合を構成し、その還元がコホモロジーにおいてラングランズ対応を実現すること。
• 単心的群から構成される有限体上の特別な多様体Xを定義し、その有理点数の観点から「maximal」であることを定義・研究すること。
• この多様体のコホモロジーが、広範な超臨界的表現のクラスに対して局所ラングランズおよびジャケット＝ラングランズ対応を実現することを示すこと。
• 無限レベルのルビン＝タウラー塔のコホモロジーと単心的群のデリーニュ＝ルシュツィギュ型多様体との間に幾何的関係を確立すること。

提案手法

• 代数的閉包の完備化上のKの無限レベルのルビン＝タウラー空間内に開アフィンイド部分集合Vを構成する。
• Vの還元を調べ、F̄_q上のスキームとし、F_{q^n}上の滑らかでアフィンな多様体Xのperfectizationの和集合であることを示す。
• Xを、F_{q^n}上の単心的群U内の特定の部分多様体YにおけるLang写像の逆像として定義し、デリーニュ＝ルシュツィギュ構成を模倣する。
• U(F_{q^n})の右乗法作用をX上で解析し、単心的群の構造を用いてXのℓ進コホモロジーを計算する。
• 近傍サイクル複体とGL_n(K) × D^× × W_Kの作用を用いて、表現をコホモロジー的データと関連付ける。
• 重複度1の結果を確立するため、非分岐なn次拡大から誘導されるウェイルパラメータを持つ表現がH^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)に重複度1で現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(n)に対する局所ラングランズ対応は、グローバルな自動形式的手段を用いずに、純粋に局所的に実現可能か？
• RQ2 適切なアフィンイドの還元の幾何的構造は何か？
• RQ3 単心的群から、デリーニュ＝ルシュツィギュ多様体に類似した方法で有限体上の多様体をどのように構成できるか？
• RQ4 この多様体のコホモロジー的性質は何か？また、超臨界的表現とどのように関係するか？
• RQ5 ジャケット＝ラングランズ対応は、このような多様体のコホモロジーを通じて幾何的に実現可能か？

主な発見

• アフィンイドVの還元のコホモロジーは、非分岐なn次拡大から誘導されるウェイルパラメータを持つ超臨界的表現の局所ラングランズ対応を実現する。
• 多様体Xは、そのベッチ数が示す上限に達するF_{q^n}-有理点数を持つことから、「maximal」としての性質を有する。
• Xのℓ進コホモロジーは、U(F_{q^n})の既約表現の直和に分解され、H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)が唯一の非自明なコホモロジー群である。
• ウェイルパラメータがInd_{L/K}θであるような表現πについて、θの指数がm+1で、ノームによる低下が不可能な場合、Hom_{GL_n(K)}(π, H^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ))は非自明かつ1次元である。
• GL_n(K) × D^× × W_Kの作用がH^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ)に作用するとき、期待されるラングランズ対応と整合し、σ^#(π)およびジャケット＝ラングランズ上に上げた表現の対蹠がコホモロジーを通じて現れる。
• 中間コホモロジーH^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)は、U(F_{q^n})の作用をもち、フロベニウスのねじれ作用が(-1)^{n-1} · q^{n(n-1)/2}として作用する。