[論文レビュー] Maximum Entropy Edgeworth Estimates of Volumes of Polytopes

Alexander Barvinok, J. A. Hartigan|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形制約によって定義される高次元多面体内の整数格子点の数を推定するため、最大エントロピー・エッジワース補正付きガウス近似を提案する。点の分布を最大エントロピー密度でモデル化し、4次のモーメントを用いたエッジワース展開によりガウス尾確率を補正することで、分割表や次数列が与えられたグラフの数を数える問題において、漸近的に有効な推定が達成される。

ABSTRACT

The number of points (x_1,...x_n) that lie in an integer cube C in R_n and satisfy the constraints S_i=sum_i[ h_{ij}(x_j) ] is approximated by an Edgeworth corrected gaussian approximation based on the maximum entropy density p on C, that satisfies ES = s . Under p, the variables X_1,...X_n are independent with densities of exponential form. Conditional on S = s, X is uniformly distributed over the integers in C that satisfy S = s . The number of points in C satisfying S=s is p{S=s} exp(I(p)) where I(p) is the entropy of the density p . We first estimate p{S=s}by P{Z=s} where Z is multivariate gaussian with the same first two moments as S ;and when d is large we use in addition an Edgeworth factor that requires the first four moments of S under p. The asymptotic validity of the Edgeworth corrected estimate is examined for counting contingency tables with given row sums and column sums, and for counting the number of graphs with a given degree sequence.

研究の動機と目的

• 線形制約によって定義される高次元多面体内の整数点の数を、計算的に実行可能でかつ漸近的に有効な方法で推定する。
• 統計学および組合せ論における古典的問題である、固定された行和・列和を持つ分割表の数を数える挑戦に応える。
• 複雑な組合せ的制約を含む、与えられた次数列を持つグラフの数への推定を拡張する。
• ガウス近似の精度を高めるために、エッジワース補正を用いて高次モーメントを組み込むことで、高次元における精度を向上させる。

提案手法

• 制約付き立方体 C ⊂ ℝⁿ 内の整数点の分布を、E[S] = s を満たす最大エントロピー密度 p でモデル化する。
• p において、変数 X₁,…,Xₙ は独立に指数型分布族に従い、モーメントの計算が容易になる。
• S = s を満たす点の数を p{S = s} × exp(I(p)) として推定する。ここで I(p) は最大エントロピー密度 p のエントロピーである。
• p{S = s} を、p における S と同じ1次および2次モーメントを持つ Z の多変量正規確率 P{Z = s} で近似する。
• S の p における最初の4次のモーメントを用いてエッジワース補正を施し、高次元における精度を向上させる。
• 2つの主要な組合せ的問題、すなわち固定マージンを持つ分割表と所定の次数列を持つグラフの数の推定について、漸近的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形制約によって定義される高次元多面体内の整数点の数を、効率的かつ正確に推定する方法は何か？
• RQ2 エッジワース展開を用いて高次モーメントを組み込むことで、高次元における組合せ的数え上げ問題のガウス近似の精度はどの程度向上するか？
• RQ3 固定された行和・列和を持つ分割表の数を数える問題において、エッジワース補正付き最大エントロピー近似は漸近的に有効であるか？
• RQ4 同じフレームワークを、与えられた次数列を持つグラフの数の数え上げに拡張できるか。また、その文脈ではどの程度の精度を達成できるか？

主な発見

• エッジワース補正付き近似は、4次のモーメントを用いて歪度と尖度を組み込むことで、標準ガウス近似よりも顕著な改善をもたらす。
• 次元 d が大きい場合、固定マージンを持つ分割表の数の推定において、本手法は漸近的に有効である。
• 同様の高次元条件の下で、与えられた次数列を持つグラフの数の推定に対しても、本手法は漸近的に有効である。
• S = s を満たす整数点の数は、p{S = s} × exp(I(p)) として、p を最大エントロピー密度、I(p) をそのエントロピーとして正確に推定できる。
• エッジワース補正の導入により、S の分布が歪度や重尾である場合の尾確率推定誤差が低減される。
• 最大エントロピーとエッジワース補正の統合的アプローチにより、多様な組合せ的問題における格子点数の推定が統一的に扱える。