[論文レビュー] Maximum principles for a fully nonlinear fractional order equation and symmetry of solutions

Wenxiong Chen, Congming Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般関数 $ G $ を含む完全非線形非局所作用素に対して、最大原理を確立し、特に狭域原理と無限遠における減衰性を含む。これにより、移動平面法を用いて分数マクロ方程式の解の径対称性および単調性を証明できる。さらに、$ \alpha \to 2 $ のとき、作用素はヘッセ行列と勾配の二乗項を含む第二順階楕円型作用素に収束することが示される。

ABSTRACT

In this paper, we consider equations involving fully nonlinear nonlocal operators $$F_α(u(x)) \equiv C_{n,α} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{G(u(x)-u(z))}{|x-z|^{n+α}} dz= f(x,u).$$ We prove a maximum principle and obtain key ingredients for carrying on the method of moving planes, such as narrow region principle and decay at infinity. Then we establish radial symmetry and monotonicity for positive solutions to Dirichlet problems associated to such fully nonlinear fractional order equations in a unit ball and in the whole space, as well as non-existence of solutions on a half space. We believe that the methods develop here can be applied to a variety of problems involving fully nonlinear nonlocal operators. We also investigate the limit of this operator as $α ightarrow 2$ and show that $$F_α(u(x)) ightarrow a(-Δu(x)) + b |\bigtriangledown u(x)|^2 .$$

研究の動機と目的

• 完全非線形非局所作用素 $ F_\alpha $ の直接的な解析的ツールを構築すること。これは、既知の拡張法や積分方程式への同等変形が存在しないことを背景とする。
• 反対称関数に対する最大原理、および移動平面法の鍵となる要素である「狭域原理」と「無限遠における減衰性」を確立すること。
• 単位球および $ \mathbb{R}^n $ における正の解の径対称性と単調性を証明し、半空間では解の非存在を示すこと。
• $ \alpha \to 2 $ のときの $ F_\alpha(u) $ の極限挙動を調査し、局所的第二順階PDEに収束することを示すこと。

提案手法

• 関数 $ G $ に課される条件（$ G(0) = 0 $、$ G \in C^1 $、$ G'(t) \geq c_0 > 0 $）のもとで、簡単な最大原理を証明する。
• 反対称関数 $ w_\lambda $ に対して、無限遠における減衰性の原理を確立し、$ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $ のとき、負の最小値の大きさが有界であることを示す。
• 狭域原理を用いて、$ \lambda $ が十分に負のとき $ \Sigma_\lambda $ 内で $ w_\lambda(x) \geq 0 $ となることを示し、移動平面法の開始を可能にする。
• 全空間および単位球において移動平面法を適用し、正の解の径対称性と単調性を証明する。
• $ \alpha \to 2 $ のときの $ F_\alpha(u(x)) $ の極限を、$ G $ のテイラー展開と特異積分の漸近解析を用いて分析する。
• $ C_{n,\alpha} = c_n(2 - \alpha) $ であることに着目し、積分の主要項を抽出することで、$ a(-\Delta u) + b|\nabla u|^2 $ への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張法や積分方程式への再定式化に依存せずに、完全非線形非局所作用素 $ F_\alpha $ に対して最大原理を確立できるか？
• RQ2 移動平面法の過程で、差関数 $ w_\lambda(x) = u(x^\lambda) - u(x) $ が狭域で非負のままであるための条件は何か？
• RQ3 線形化方程式における係数 $ c(x) $ の減衰挙動は、$ w_\lambda $ の最小値の位置にどのように影響するか？
• RQ4 $ \alpha \to 2 $ のとき、$ F_\alpha(u(x)) $ の点での極限は何か？ そして、どのような局所的PDEに収束するか？
• RQ5 移動平面法は、$ \mathbb{R}^n $、単位球、半空間における解に対して、対称性および単調性に関する結果を効果的に得られるか？

主な発見

• 反対称関数に対する最大原理が確立され、$ \lambda $ が十分に負のとき $ \Sigma_\lambda $ 内で $ w_\lambda(x) \geq 0 $ となることが保証され、移動平面法の適用が可能になる。
• 狭域原理および無限遠における減衰性の原理が証明され、$ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $ のとき、$ w_\lambda $ の負の最小値が有界な領域に集中することが示される。
• 単位球におけるディリクレ問題の正の解は、径対称的であり、径方向に厳密に増加することが示される。
• $ \mathbb{R}^n $ における解は、適切な減衰および符号条件のもとで、径対称的かつ径変数に関して単調増加である。
• 半空間 $ \mathbb{R}^n_+ $ において正の解が存在しないことを証明した。これは $ u > 0 $ が $ \mathbb{R}^n_+ $ で成り立ち、境界上では $ u \geq 0 $ であるという仮定に基づく。
• $ \alpha \to 2 $ のとき、作用素 $ F_\alpha(u(x)) $ は点単位で $ a(-\Delta u(x)) + b|\nabla u(x)|^2 $ に収束する。ここで $ a \propto G'(0) $、$ b \propto G''(0) $ である。