[論文レビュー] Maximum scattered linear sets and MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$rn$ が偶数であるとき、$operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 内の最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合に対するランク上限 $rn/2$ の鋭さを証明している。$r$ が奇数で $n$ が偶数である以前の未解決ケースを含む。Sheekey の構成を一般化することで、このような線形集合がパラメータ $(rn, n, q; n-1)$ の ${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コードを生成することを示し、有限体上の二項関数を用いた明示的構成を提供する。

ABSTRACT

The rank of a scattered $\mathbb{F}_q$-linear set of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$, $rn$ even, is at most $rn/2$ as it was proved by Blokhuis and Lavrauw. Existence results and explicit constructions were given for infinitely many values of $r$, $n$, $q$ ($rn$ even) for scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank $rn/2$. In this paper we prove that the bound $rn/2$ is sharp also in the remaining open cases. Recently Sheekey proved that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ of maximum rank $n$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $2n$ and minimum distance $n-1$. We generalize this result and show that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$ of maximum rank $rn/2$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $rn$ and minimum distance $n-1$.

研究の動機と目的

• 最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合の分類において、$r$ が奇数で $n$ が偶数である場合の残りの未解決ケースを閉じること。
• ランク $rn/2$ の最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合とパラメータ $(rn, n, q; n-1)$ の ${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コードとの間の一般対応関係を確立すること。
• 有限体上の二項関数を用いて、そのような線形集合および関連する MRD コードの明示的構成を提供すること。
• 特に $r=3$, $n\geq6$ が偶数、$n\equiv0\pmod{3}$, $q\not\equiv1\pmod{3}$, $q>2$ の場合に、ランク上限 $rn/2$ が以前に未解決であったケースでもタイトであることを示すこと。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_{q^{3t}}$ 上の二項関数 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{2t+i}$ を用いて、$\operatorname{PG}(2,q^{2t})$ 内に最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合を構成する。
• 二項関数によって定義される、$\operatorname{PG}(1,q^{3t})$ 内の非散乱線形集合（ランク $3t$）の存在を基礎的ステップとして用いる。
• Sheekey の対応関係（$\operatorname{PG}(1,q^n)$ 内の最大散乱線形集合と ${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コード（次元 $2n$、最小距離 $n-1$）との間）を一般化する。
• $V(r,q^n)$ 内の部分空間 $U_f$ から定義される写像 $G \circ \tau_v$ を用いて、${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コードを定義する。ここで $U_f = \{x\omega + f(x) \mid x \in \mathbb{F}_{q^{rt}}\}$ である。
• 体のノルムおよびトレースの条件を用いて、構成された線形集合の線形性と最大ランクを保証する。
• 異なるケース（$f(x) = ax^{q^i}$ および $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$）に対して、$F_v(x,y)$ の明示的式を $\gcd(i,2t)$, $\gcd(i,rt)$, およびノルム値の条件を含めて構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r$ が奇数で $n$ が偶数のとき、$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 内の散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合に対するランク上限 $rn/2$ は鋭いか？
• RQ2 すべての偶数 $rn$ に対して、$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 内のランク $rn/2$ の最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合を体系的に構成できるか？
• RQ3 最大散乱線形集合と ${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コードとの対応関係は、$r=2$ の場合を超えて一般の $r$ に対しても成り立つか？
• RQ4 $t \geq 2$ のとき、$\operatorname{PG}(2,q^{2t})$ 内で最大散乱線形集合を生成する二項関数の明示的族は何か？
• RQ5 元の部分空間が非同値であっても、そのような線形集合から得られる MRD コードは非同値であるか？

主な発見

• 本稿は、$rn$ が偶数であるすべてのケースにおいて、$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 内の散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合に対するランク上限 $rn/2$ が鋭いことを証明している。これは、$r$ が奇数で $n$ が偶数である以前の未解決ケースを含む。
• $n\geq6$ が偶数、$n\equiv0\pmod{3}$, $q\not\equiv1\pmod{3}$, $q>2$ を満たす $n$ に対して、$\operatorname{PG}(2,q^n)$ 内でランク $3n/2$ の最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合の明示的構成が提供されている。
• 一般構成が確立された：$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 内のランク $rn/2$ の最大散乱 ${\mathbb{F}}_q$-線形集合は、すべて、パラメータ $(rn, n, q; n-1)$ の ${\mathbb{F}}_q$-線形 MRD コードを生成する。
• $r=3$, $n=2t$, $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$ の場合、$a$, $b$, および $\gcd(i,2t)$ の条件を満たすことで、次元 $6t$、最小距離 $2t-1$ の明示的 MRD コードが構成された。
• 本稿は、非同値な ${\mathbb{F}}_q$-部分空間 $U_f$ と $U_g$ が同じ MRD コードを生成する例を示しており、コードの同値性が部分空間の同値性を意味しないことを示している。
• さまざまなパrameter領域に対して、$x$, $y$, $v_0$, $v_1$, $a$, $b$, $A_0$, $A_1$, および $q$-乗数を含む $F_v$ の明示的式が導出された。