[論文レビュー] Maximum Waring ranks of monomials

Erik Holmes, Paul Plummer+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、4変数以上における単項式および互いに素な単項式の和の最大ワーリングランクを特定し、一般にランクが一般のランクより厳密に小さいことを示しているが、有限個の例外を除く。主な貢献は、これらの例外を完全に分類し、固定された $ n \geq 4 $ に対して、最大ランクが $ d^{n-1}/(n-1)^{n-1} $ のように増加するのに対し、一般ランクは $ d^{n-1}/n! $ のように増加することを asymptotically 比較し、$ d \to \infty $ のとき比が $ n!/(n-1)^{n-1} < 1 $ に近づくことを示している。

ABSTRACT

We show that monomials and sums of pairwise coprime monomials in four or more variables have Waring rank less than the generic rank, with a short list of exceptions. We asymptotically compare their ranks with the generic rank.

研究の動機と目的

• 4変数以上における単項式および互いに素な単項式の和で、一般ランクを厳密に上回るワーリングランクを達成するものを特定すること。
• このような形式が一般ワーリングランクを超える有限個の例外を分類すること。
• $ n \geq 4 $ 変数における単項式および互いに素な単項式の和の最大ワーリングランクの漸近的成長率を特定すること。
• 次数 $ d \to \infty $ または $ n \to \infty $ のとき、最大ワーリングランクと一般ワーリングランクの関係を調査すること。
• 単項式を越える高ランクの形式について、明示的構成と境界を提供すること。

提案手法

• 単項式のワーリングランクに関する既知の公式を用いる：$ M = x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n} $ で $ 0 < a_1 \leq \cdots \leq a_n $ のとき、$ r(M) = (a_2+1)(a_3+1)\cdots(a_n+1) $ である。
• Carlini, Catalisano, and Geramita (2012) の結果を適用し、単項式の正確なワーリングランクを求める。
• 互いに素な単項式の和のランクを、変数が互いに分離しているとき $ r(F + G) = r(F) + r(G) $ が成り立つことを利用して分析する。
• Alexander–Hirschowitz の定理を用いて、一般ワーリングランク $ r_{\text{gen}}(n,d) = \left\lceil \frac{1}{n} \binom{d+n-1}{n-1} \right\rceil $ を計算する。ただし、有限個の例外を除く。
• 単項式および互いに素な和の最大ランクを、一般ランクと $ d \to \infty $ のときの比 $ \frac{r_{\text{max}}(n,d)}{r_{\text{gen}}(n,d)} $ を分析することで、漸近的に比較する。
• 明示的構成とケース解析を用いて、一般ランクを超える形式は有限個であることを確認し、すべてを列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \geq 4 $ 変数における単項式および互いに素な単項式の和が達成可能な最大ワーリングランクは何か。
• RQ2 $ n \geq 4 $ 変数におけるどの単項式および互いに素な単項式の和が、一般ランクを厳密に上回るワーリングランクを持つのか。
• RQ3 次数 $ d \to \infty $ のとき、このような形式の最大ワーリングランクは一般ワーリングランクとどのように漸近的に比較されるか。
• RQ4 固定された $ n \geq 4 $ および大きな $ d $ に対して、比 $ r_{\text{max}}(n,d)/r_{\text{gen}}(n,d) $ の漸近的挙動は何か。
• RQ5 非単項式かつ非互いに素な和の形式で、一般ランクを超えるものがあるか。もし存在するなら、それらを体系的に構成できるか。

主な発見

• $ n \geq 4 $ のとき、単項式および互いに素な単項式の和は、一般ランクを厳密に下回るが、有限個の例外を除く。
• 4変数以上における例外の完全なリストは、以下の4つの形式からなる：$ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 $、$ x_1x_2^2 + x_3^3 + x_4^3 $、$ x_1x_2x_3 + x_4^3 $、$ x_1x_2^2 + x_3x_4^2 $。それぞれのランクは4、5、5、6であり、一般ランク $ r_{\text{gen}}(4,3) = 5 $ を上回っている。
• 4変数以上における単項式の最大ワーリングランクは、漸近的に $ d^{n-1}/(n-1)^{n-1} $ のように増加するが、一般ランクは $ d^{n-1}/n! $ のように増加する。したがって、$ d \to \infty $ のとき、その比は $ n!/(n-1)^{n-1} < 1 $ に近づく。
• 固定された $ d \geq 3 $ および $ n \to \infty $ のとき、このような形式の最大ワーリングランクは $ n $ に対して線形的に増加するが、一般ランクは $ O(n^{d-1}) $ のように増加する。したがって、$ n \to \infty $ のとき、比 $ r_{\text{max}}^*(n,d)/r_{\text{gen}}(n,d) \to 0 $ に近づく。
• 非単項式かつ非互いに素な和の形式でも、一般ランクを超えるものがある。例えば、$ G = x^2y + y^2z + w^3 $ は4変数でランク6をもち、一般ランク $ r_{\text{gen}}(4,3) = 5 $ を上回っている。これは、独立変数に対して $ r(F + y_1^d + \cdots + y_s^d) = r(F) + s $ が成り立つという結果により示される。
• $ n > d $ の場合でさえ、最大ワーリングランクは有界であり、ゆっくりと増加する。$ n > d \geq 4 $ のとき、$ r_{\text{max}}^*(n,d) \leq \frac{n \cdot 2^{d-1}}{d} $ が成り立ち、これは $ n $ に関して多項式的でない（部分多項式的）である。一方、$ r_{\text{gen}}(n,d) $ は $ O(n^{d-1}) $ のように増加するため、$ n \to \infty $ のとき比が0に近づくことが確認される。