[論文レビュー] "McKay's E7 observation on the Baby Monster" and "McKay's E6 observation on the largest Fischer group"

Gerald Hoehn, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、中心指数 c=6/7 のVirasoroベクトルを介してアフィンE6図から導かれる頂点 operator 子代数と、Fi24の二面体部分群との対応関係を構築することにより、最大のフィッシャー群Fi24におけるMcKayのE6観察の頂点 operator 代数（VOA）的実現を確立する。非可換なσ型Miyamoto対合の積が3次元であることを証明し、これら対合をVOA VFnaturalにおけるFi24の3-転置（3-transpositions）と特定することで、E6観察のVOA理論的解釈を提供する。

ABSTRACT

E7 part: In this paper, we study McKay's E7 observation on the Baby Monster. By investigating so called derived c=7/10 Virasoro vectors, we show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of the Baby Monster and certain subalgebras of the Baby Monster vertex operator algebra which are constructed by the nodes of the affine E7 diagram. This allows us to reinterpret McKay's E7 observation via the theory of vertex operator algebras. For a class of vertex operator algebras including the Moonshine module, we will show that the product of two Miyamoto involutions associated to derived c=7/10 Virasoro vectors in certain commutant vertex operator algebras is an element of order at most 4. For the case of the Moonshine module, we obtain the Baby monster vertex operator algebra as the commutant and we can identify the group generated by these Miyamoto involutions with the Baby Monster and recover the {3,4}-transposition property of the Baby Monster in terms of vertex operator algebras. E6 part: In this paper, we study McKay's E6-observation on the largest Fischer 3-transposition group Fi24. We investigate a vertex operator algebra VF of central charge 23+1/5 on which the Fischer group Fi24 naturally acts. We show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of Fi24 and certain vertex operator subalgebras constructed by the nodes of the affine E6 diagram by investigating so called derived Virasoro vectors of central charge 6/7. This allows us to reinterpret McKay's E6-observation via the theory of vertex operator algebras. It is also shown that the product of two non-commuting Miyamoto involutions of sigma-type associated to derived c=6/7 Virasoro vectors is an element of order 3, under certain general hypotheses on the vertex operator algebra. For the case of VF, we identify these involutions with the 3-transpositions of the Fischer group Fi24.

研究の動機と目的

• 最大のフィッシャー群Fi24とアフィンE6ディンキン図を結ぶMcKayのE6観察を、頂点 operator 代数（VOA）理論的視点から解釈すること。
• Fi24の二面体部分群と、アフィンE6図のノードから構成されたVOAとの自然な対応関係を確立すること。
• 一般のVOA仮定のもとで、導出されたc=6/7 Virasoroベクトルに関連する非可換なσ型Miyamoto対合の積が3次元であることを示すこと。
• VOA VFnaturalにおいて、これらの対合をFi24の3-転置と特定することで、Fi24を特定のVOAの自己同型群として実現すること。
• モンスター群およびベビーモンスター群の研究で用いられた枠組みを、フィッシャー群の状況に拡張し、3A代数と導出されたVirasoroベクトルを用いること。

提案手法

• Fi24が自然に作用する中心指数23 1/5の頂点 operator 代数VFnaturalを構築する。
• 中心指数6/7の導出Virasoroベクトルを用いて、VFnaturalにおけるσ型Miyamoto対合を定義する。
• これらの導出c=6/7 Virasoroベクトルを介して、Fi24の二面体部分群とアフィンE6図のノードから生成されるVOAとの対応関係を確立する。
• 根格子に関連する補完子代数の理論を用いて、VFnaturalに埋め込まれたVOAの構造を分析する。
• モンスターの3A代数を用いて、VFnaturalの文脈で対合およびその積を定義・分析する。
• 一般のVOA仮定のもとで、c=6/7 Virasoroベクトルに関連する非可換なσ型対合の積が3次元であることを証明し、VFnaturalにおいても同様の結果を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McKayのE6観察を、最大のフィッシャー群Fi24に対してどのように頂点 operator 代数理論によって解釈できるか？
• RQ2 Fi24の二面体部分群と、アフィンE6図から構成されたVFnaturalの部分代数との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 一般のVOA仮定のもとで、導出されたc=6/7 Virasoroベクトルに関連する非可換なσ型Miyamoto対合の積が3次元であるための条件は何か？
• RQ4 Fi24の3-転置は、VOA VFnaturalにおいてどのようにMiyamoto対合として実現されるか？
• RQ5 3A代数および導出されたVirasoroベクトルは、これらの対合の構築と分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 導出されたc=6/7 Virasoroベクトルを介して、フィッシャー群Fi24の二面体部分群と、アフィンE6図のノードから構成された頂点 operator 子代数との自然な対応関係が確立された。
• 一般のVOA仮定のもとで、導出されたc=6/7 Virasoroベクトルに関連する非可換なσ型Miyamoto対合の積が3次元であることが示された。
• VOA VFnaturalにおいて、導出されたc=6/7 Virasoroベクトルに関連するσ型Miyamoto対合は、フィッシャー群Fi24の3-転置と特定された。
• この構成により、最大のフィッシャー群Fi24が特定のVOAの自己同型部分群として実現された。
• この方法により、モンスターおよびベビーモンスターの研究と類似したVOA理論的再解釈が得られ、c=6/7 Virasoroベクトルがc=1/2のものではなく用いられた。
• 三進Golay符号の構成を用いて、3つのこのような導出c=6/7 Virasoroベクトルが生成する部分代数がLeech格子に埋め込まれることが確認され、√2E8に等長な部分格子が得られた。