[論文レビュー] Z_3 symmetry and W_3 algebra in lattice vertex operator algebras

Chongying Dong, Ching Hung Lam+3 more|ArXiv.org|Feb 25, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、オルビフォールド理論とコセット構成を用いて、格子頂点 operator 代数 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 内に中心指数 $6/5$ の $W_3$ 代数を構成する。有理性を証明し、Zhu 代数解析を用いて20個の非同型な既約モジュールを分類し、それらの特徴関数を計算する。$M^\tau$ が $[Z_3^{(5)}]$ 代数に同型であることを確立し、重み12の特異ベクトルを用いて $C_2$-cofiniteness および有理性を確認する。

ABSTRACT

The W_3 algebra of central charge 6/5 is realized as a subalgebra of the vertex operator algebra V_{\sqrt{2}A_2} associated with a lattice of type \sqrt{2}A_2 by using both coset construction and orbifold theory. It is proved that W_3 is rational. Its irreducible modules are classified and constructed explicitly. The characters of those irreducible modules are also computed.

研究の動機と目的

• 中心指数 $6/5$ の $W_3$ 代数を格子頂点 operator 代数 $V_{\sqrt{2}A_2}$ の部分代数として実現すること。
• この $W_3$ 代数のすべての非同型既約モジュールを分類し、それらの有理性を証明すること。
• モジュラー不変性およびオルビフォールド理論を用いて、非同型モジュールの特徴関数を計算すること。
• 固定点部分代数 $M^\tau$ が、以前の分類で得られた $[Z_3^{(5)}]$ 代数に同型であることを確立すること。
• 重み12の特異ベクトルおよび Zhu 代数構造を用いて、$W_3$ 代数の $C_2$-cofiniteness および有理性を証明すること。

提案手法

• オルビフォールド理論およびコセット構成を用いて、$V_{\sqrt{2}A_2}$ 内に $W_3$ 代数を構成し、中心指数 $6/5$ のVirasoro生成子 $\omega = \omega^1 + \omega^2$ を特定する。
• $\tau$-不変部分代数 $M^\tau$ 内に重み3の生成子 $J$ を特定し、$L(n) = \omega_{n+1}$ および $J(n) = J_{n+2}$ が $W_3$ 代数の交換関係を満たすことを示す。
• Zhu 代数理論を用いて、$\mathbb{C}[x,y] \to A(\mathcal{W})$ の全射の核を計算することで、非同型モジュールを分類する。ここで $x \mapsto [\omega]$, $y \mapsto [J]$ である。
• 不変な正定値ヘルミート形式を用いて、重み12の特異ベクトル $\mathbf{v}$ が $A(\mathcal{W})$ 内で消えることを示し、その像が核イデアル $\mathcal{I}$ に属することを示す。
• 特異ベクトル $\mathbf{v}$ の明示的形およびイデアル $\mathcal{I}$ を、コンピュータ代数システム Risa/Asir を用いて計算する。
• オルビフォールド理論におけるトレース関数のモジュラー不変性を適用し、20個の非同型 $M^\tau$-モジュールの特徴関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心指数 $6/5$ の $W_3$ 代数は、オルビフォールド理論およびコセット構成を用いて $V_{\sqrt{2}A_2}$ の部分代数として実現可能か？
• RQ2 この $W_3$ 代数は同型でない非同型既約モジュールをいくつ持ち、それらの構造は何か？
• RQ3 中心指数 $c=6/5$ の $W_3$ 代数は有理的かつ $C_2$-cofinite か？重み12の特異ベクトルはこの証明において果たす役割は何か？
• RQ4 非同型モジュールの特徴関数は既知のモジュラーデータとどのように関係し、オルビフォールド理論を用いて計算可能か？
• RQ5 固定点部分代数 $M^\tau$ は、以前の研究で分類された $[Z_3^{(5)}]$ 代数に同型か？

主な発見

• 中心指数 $6/5$ の $W_3$ 代数は、オルビフォールド理論およびコセット構成を用いて $V_{\sqrt{2}A_2}$ の部分代数として実現され、Virasoro生成子 $\omega = \omega^1 + \omega^2$ および重み3の生成子 $J$ を持つ。
• この $W_3$ 代数には正確に20個の同型でない非同型既約モジュールが存在し、うち8個はアンツイスト $M$-モジュール、6個は $\tau$-ツイスト、6個は $\tau^2$-ツイスト $M$-モジュールに属する。
• Zhu 代数 $A(\mathcal{W})$ は、写像 $\mathbb{C}[x,y] \to A(\mathcal{W})$ の核によって決定され、重み12の特異ベクトル $\mathbf{v}$ の消えることから導かれる4つの多項式によって生成される。
• 重み12の特異ベクトル $\mathbf{v}$ は、不変な正定値ヘルミート形式の存在により $A(\mathcal{W})$ 内で消えることが示され、$[\mathbf{v}] = 0$ および $[J(-1)\mathbf{v}] = [J(-2)\mathbf{v}] = [J(-1)^2\mathbf{v}] = 0$ が成り立つ。
• $W_3$ 代数は $C_2$-cofinite かつ有理的であることが証明され、その証明は特異ベクトルおよび非同型モジュールの分類に依存する。
• 20個の非同型 $M^\tau$-モジュールの特徴関数は、オルビフォールド理論におけるトレース関数のモジュラー不変性を用いて計算され、[14] における $p=5$ の $\Delta$ および $w$ 値と一致する。これにより $M^\tau \cong [Z_3^{(5)}]$ が確認される。