[論文レビュー] McKean-Vlasov SDE and SPDE with Locally Monotone Coefficients

Wei Hong, Hu Shanshan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2022

Climate Change Policy and Economics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、状態および分布変数において局所的単調性を満たす係数のもとで、McKean-Vlasov SDEおよびSPDEの強いおよび弱い適切性を確立し、非局所性の課題を克服する。弱い仮定のもとで大偏差原理（LDP）を証明し、多粒状媒体、プラズマ、多孔質媒体、2次元流体力学的モデルなどに結果を拡張し、従来のグローバルリプシッツ性や単調性の要請を緩和する。

ABSTRACT

In this paper we mainly investigate the strong and weak well-posedness of a class of McKean-Vlasov stochastic (partial) differential equations. The main existence and uniqueness results state that we only need to impose some local assumptions on the coefficients, i.e. locally monotone condition both in state variable and distribution variable, which cause some essential difficulty since the coefficients of McKean-Vlasov stochastic equations typically are nonlocal. Furthermore, the large deviation principle is also derived for the McKean-Vlasov stochastic equations under those weak assumptions. The wide applications of main results are illustrated by various concrete examples such as the granular media equations, plasma type models, kinetic equations, McKean-Vlasov type porous media equations and Navier-Stokes equations. In particular, we could remove or relax some typical assumptions previously imposed on those models.

研究の動機と目的

• 状態および分布変数において局所的単調性を満たす係数のもとで、McKean-Vlasov SDEおよびSPDEの強いおよび弱い適切性を確立すること。
• グローバルリプシッツ性や単調性の仮定を緩和することで、McKean-Vlasov方程式に内在する非局所性の課題を克服するための枠組みを構築すること。
• 局所的で弱い条件のもとで、これらの方程式に対する大偏差原理（LDP）を導出すること。
• 多粒状媒体、プラズマ、運動論的、多孔質媒体方程式に関する既存の結果を、標準的な仮定を緩和または除去することで一般化すること。
• 有限次元および無限次元の両設定において、存在性、一意性、LDPを示すための統一的で変分的かつ弱収束に基づくアプローチを提供すること。

提案手法

• 局所的単調性を扱うために、切り捨てられた係数を用いた局所化および近似技術を用い、グローバルリプシッツ性を持つ近似SDEの系列を構築すること。
• パスごとの一意性が成り立つ場合に弱解から強い解を導くために、修正されたヤマダ＝ワタナベの定理を適用すること。
• 弱収束アプローチを用いて大偏差原理（LDP）を証明し、事前推定とパス空間におけるtightnessに依存すること。
• 特に多孔質媒体および流体力学的型方程式に対して、ヒルベルト空間におけるSPDEのための変分法およびエネルギー推定の適応。
• 状態および分布変数の両方において局所的単調性条項に基づく枠組みの構築により、グローバルリプシッツ性を満たさない係数を許容すること。
• 近似列の分布およびL^p空間における収束を保証するため、スコロホド表現およびバチリの収束定理の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態および分布変数において係数が局所的単調性を満たす場合に、McKean-Vlasov SDEの強いおよび弱い適切性を確立できるか？
• RQ2 グローバルリプシッツ性や単調性ではなく、このような局所的単調性仮定のもとで、McKean-Vlasov SDEに対する大偏差原理（LDP）は成立するか？
• RQ3 係数の条件を弱める条件下でも、例えば確率的多孔質媒体方程式や2次元流体力学的系のようなSPDEに、結果を拡張できるか？
• RQ4 多粒状媒体、プラズマ、ナビエ＝ストークス方程式といった古典的モデルは、標準的なグローバル正則性仮定を除去または緩和することで、どの程度一般化できるか？
• RQ5 局所的単調性および近似技術を用いて、McKean-Vlasov方程式の非局所構造を効果的に管理できるか？

主な発見

• 本論文は、状態および分布変数において局所的単調性を満たす係数のもとで、McKean-Vlasov SDEの強いおよび弱い適切性を証明し、従来のグローバル仮定からの顕著な緩和を達成した。
• 弱い局所的条件下でも、弱収束アプローチと事前推定を用いて、McKean-Vlasov SDEのための大偏差原理（LDP）が確立された。
• この枠組みは、多粒状媒体方程式、プラズマ型モデル、運動論的方程式、McKean-Vlasov多孔質媒体方程式など、広範なモデルに適用可能であり、仮定が緩和された。
• SPDEに関しては、局所的単調性条項のもとで変分的解の存在が証明され、エネルギー推定を用いてパスごとの一意性が確立された。
• 係数に対するグローバルリプシッツ性や単調性の条件を除去または緩和することで、確率的多孔質媒体および2次元流体力学的系に関する先行研究が拡張された。
• 非グローバルリプシッツ性を有するドリフト、例えば例として $ dX(t) = -X(t)^3 \big[\textstyle\bigint_{\mathbb{R}^d} |y|^p \mathcal{L}_{X(t)}(dy)\big] dt + X(t) dW(t) $ に対しても、局所的単調性条件を満たすため、そのような非グローバル単調性でさえも許容可能である。