[論文レビュー] McKean-Vlasov SDEs with Drifts Discontinuous under Wasserstein Distance

Xing Huang, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、空間変数における$L^p$可積分性と Wasserstein 距離$\mathbb{W}_0$または$\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$（$\theta \geq 1$）に関するリプシッツ連続性の条件下で、分布変数において不連続な特異なドリフトを有する McKean-Vlasov SDE に対して、解の存在と一意性を確立する。主な貢献は、弱位相における Zvonkin の変換と Krylov の推定を用いることで、従来の研究で分布変数における連続性を仮定していた条件を緩和し、不連続ドリフトに対しても適切な正則性理論を構築したことにある。

ABSTRACT

Existence and uniqueness are proved for Mckean-Vlasov type distribution dependent SDEs with singular drifts satisfying an integrability condition in space variable and the Lipschitz condition in distribution variable with respect to $W_0$ or $W_0+W_θ$ for some $θ\ge 1$, where $W_0$ is the total variation distance and $W_θ$ is the $L^θ$-Wasserstein distance. This improves some existing results where the drift is either locally bounded in the space variable or continuous in the distribution variable with respect to the Wasserstein distance.

研究の動機と目的

• 分布依存型 SDE に対して、空間的特異ドリフトが分布変数において不連続である場合の強解および弱解の適切な解法を確立すること。
• 従来の文献で要求されていた分布変数におけるドリフトの連続性仮定を、全 Variation 距離および Wasserstein 距離の下で不連続性を許容する形に緩和すること。
• 空間的可積分性と分布変数におけるリプシッツ連続性（$\mathbb{W}_0$ または $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$、$\theta \geq 1$）を満たすドリフトに対して、適切な解法理論を拡張すること。
• 解の法則に関する非滑らかさを扱うための厳密な枠組みを提供すること。これは、平均場的・運動論的モデルと関連している。

提案手法

• 弱位相における a priori 評価を得るために、SDE の正則化に Zvonkin の変換を用いる。
• 解の遷移密度を制御し、解のモーメントバウンドを導出するために Krylov の推定を適用する。
• 解の法則を用いて定義される写像 $\Phi^\gamma$ を用いた、法則フローに関する不動点反復法を用いる。
• $\mathbb{W}_0$-リプシッツドリフトの場合、確率測度の空間に距離 $\rho(\nu, \mu) = \sup_{t \in [0,t_0]} \|\nu_t - \mu_t\|_{TV}$ を導入し、収縮性を示す。
• $\mathbb{W}_\theta$-リプシッツドリフトの場合、$\tilde{\rho}(\nu, \mu) = \sup_t \{ \|\nu_t - \mu_t\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta(\nu_t, \mu_t) \}$ という組み合わせ距離を用いて、$C([0,t_0]; \mathscr{P}_\theta)$ 上での収縮性を証明する。
• 得られた積分不等式に対して Grownwall の補題を適用し、初期法則の摂動に対する法則フローの安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが $\mathbb{W}_0$ や $\mathbb{W}_\theta$ に関して分布変数において不連続である場合、McKean-Vlasov SDE に対して強解および弱解の適切な解法が確立可能か。
• RQ2 ドリフトの空間的可積分性と分布的リプシッツ連続性の条件が、解の存在と一意性を保証するにはどのようなものか。
• RQ3 Zvonkin の変換と Krylov の推定を、分布依存型 SDE に不連続ドリフトを含む形にどのように適応できるか。
• RQ4 ドリフトの分布変数における連続性要請を、$\mathbb{W}_1$-リプシッツ連続性を越えてどの程度緩和できるか。
• RQ5 初期法則の摂動に対する法則フローの安定性を、$\mathbb{W}_0$ および $\mathbb{W}_\theta$ 距離を用いて定量的に評価できるか。

主な発見

• ドリフトが空間変数で $L^p$ 可積分であり、$\mathbb{W}_0$ または $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$（$\theta \geq 1$）に関して分布変数でリプシッツ連続である場合、McKean-Vlasov SDE に対して強解の存在と一意性が確立される。
• ドリフトが $\mathbb{W}_0$-リプシッツである場合、短時間区間 $[0, t_0]$ において、解の法則 $\mu_t = \mathscr{L}_{X_t}$ が全 Variation 範囲で収縮的であることが示され、$t_0 = \min\{T, 1/(K_1 K_3^2)\}$ が成り立つ。
• $\mathbb{W}_\theta$-リプシッツドリフトの場合、組み合わせ距離 $\|\cdot\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta$ において法則フローが収縮的であり、$t_0 = 1/(2C)$（$C$ は適当な定数）までの適切な解法が得られる。
• 初期法則摂動に対する法則フローの安定性は、不等式 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^2 \leq 2\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^2 + \frac{K_1 K_3^2}{2} \int_0^t \|P_s^*\mu_0 - P_s^*\nu_0\|_{TV}^2 ds$ を通じて定量的に評価され、$\mathbb{W}_0$ に関して指数的安定性が示される。
• $\mathbb{W}_\theta$-リプシッツドリフトの場合、安定性推定 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(P_t^*\mu_0, P_t^*\nu_0)^{2m} \leq C'\{\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(\mu_0, \nu_0)^{2m}\} + C' \int_0^t \cdots ds$ が成り立ち、組み合わせ距離において指数的安定性が得られる。