[論文レビュー] Mean curvature flow of higher codimension in Riemannian manifolds

Kefeng Liu, Hongwei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有界幾何構造を持つ一般のリーマン多様体における任意の余次元をもつコンパクト部分多様体の平均曲率流に対して、収束定理を確立する。第二基本形式の曲率ピンチング条件（平均曲率に対して）が満たされるとき、部分多様体は滑らかに発展し、有限時間内に球状の点に収束する。これはヒュイステンの古典的結果を高余次元に一般化し、部分多様体に対する微分可能球面定理を提供する。

ABSTRACT

We investigate the convergence of the mean curvature flow of arbitrary codimension in Riemannian manifolds with bounded geometry. We prove that if the initial submanifold satisfies a pinching condition, then along the mean curvature flow the submanifold contracts smoothly to a round point in finite time. As a consequence we obtain a differentiable sphere theorem for submanifolds in a Riemannian manifold.

研究の動機と目的

• リーマン多様体における任意の余次元をもつ部分多様体に対する平均曲率流の収束結果を、超曲面から一般化すること。
• 一般のリーマン環境空間において、曲率ピンチング条件下での平均曲率流の有限時刻収束基準を確立すること。
• 平均曲率流の技法を用いて、リーマン多様体内の部分多様体に対する微分可能球面定理を導出すること。
• 第二基本形式のピンチング条件が流れに沿って保存されることを証明し、球面的極限行動を保証すること。

提案手法

• 著者らは、次元、余次元、環境曲率の上限に依存する明示的に計算可能な定数 b₀ を用いて、第二基本形式 |A|² と平均曲率 |H|² の間のピンチング条件を導入する。
• リーマン環境多様体における第二基本形式と平均曲率ベクトルを用いて、平均曲率流下での |A|² およびトレースレス第二基本形式の発展方程式を導出する。
• 最大原理と補間不等式を用いて、第二基本形式の高階微分係数の一様有界性を証明し、流れの C∞-正則性を保証する。
• 平均曲率の勾配推定値を確立し、異なる時刻における多様体上の曲率値を比較する。
• ピンチング保存性と面積減少性、曲率有界性を組み合わせることで、最大存在時刻が有限であり、部分多様体が点に収縮することを示す。
• スケーリング変換とスタンパチアの反復法を用いて、微分係数の L² 範囲を点ごとの C∞-有界性に高める。これにより滑らかな収束が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元をもつリーマン多様体内の部分多様体の平均曲率流が、有限時刻に球状の点に収束するための曲率ピンチング条件は何か？
• RQ2 ユークリッド空間内の超曲面に対する収束結果を、有界幾何構造を持つ一般のリーマン多様体内の高余次元部分多様体へ拡張できるか？
• RQ3 第二基本形式のピンチング条件は、平均曲率流の下で部分多様体が次第に球面的になることを示唆するか？
• RQ4 ピンチング閾値 b₀ が環境多様体の曲率および自己同型半径にどのように依存するか？
• RQ5 平均曲率流の技法を用いて、一般のリーマン多様体内の部分多様体に対する微分可能球面定理を得られるか？

主な発見

• 有界幾何構造を持つ (n+d)-次元リーマン多様体内の閉 n 次元部分多様体の平均曲率流は、初期の第二基本形式が |A|² < (4/(3n))|H|² − b₀ (n=2,3 の場合) または |A|² < (1/(n−1))|H|² − b₀ (n≥4 の場合) を満たすとき、有限時刻に球状の点に収束する。
• 定数 b₀ は明示的に計算可能であり、n, d, K₁, K₂, L, iₙ（環境曲率の上限および自己同型半径）に依存する。
• |A|² と |H|² の間のピンチング条件は流れに沿って保存され、収縮過程で部分多様体が球面に一様に近づくことが保証される。
• 初期ピンチング条件のもとで、流れの最大存在時刻は有限であり、有限時刻に特異点が形成されることを示す。
• 流れは C∞-位相で球状の点に滑らかに収束し、第二基本形式のすべての高階微分係数が一様に有界である。
• その結果、初期の部分多様体は標準 n-球面と微分同相であることが示され、リーマン幾何における微分可能球面定理が得られる。