[論文レビュー] The extension and convergence of mean curvature flow in higher codimension

Kefeng Liu, Hongwei Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、高codimensionの閉部分多様体における平均曲率流れの拡張と収束を保証する積分的曲率条件を確立する。有界幾何構造を持つリーマン多様体内の部分多様体へ先行研究を一般化することで、第二基本形式が制御され、平均曲率が $\alpha \geq n+2$ の $L^\alpha$ 範囲にある場合、流れは任意の有限時刻を超えて拡張可能であることを証明する。主な結果は、tracefree第二基本形式に適切な $L^p$ 範囲を課した場合、流れがスケーリング後に球面的極限に収束することを示す2つの収束定理である。

ABSTRACT

In this paper, we first investigate the integral curvature condition to extend the mean curvature flow of submanifolds in a Riemannian manifold with codimension $d\geq1$, which generalizes the extension theorem for the mean curvature flow of hypersurfaces due to Le-Šešum \cite{LS} and the authors \cite{XYZ1,XYZ2}. Using the extension theorem, we prove two convergence theorems for the mean curvature flow of closed submanifolds in ${R}^{n+d}$ under suitable integral curvature conditions.

研究の動機と目的

• 高codimensionの部分多様体における平均曲率流れが、積分的曲率条件の下で有限最大時刻間隔を超えて拡張可能であることを示すこと。
• $\mathbb{R}^{n+d}$ 内の閉部分多様体における平均曲率流れの収束定理を、tracefree第二基本形式の $L^p$ 範囲制御の下で確立すること。
• 超曲面に対する先行の拡張定理を、有界幾何構造を持つリーマン多様体内の部分多様体へ一般化すること。
• 平均曲率流れが球面に微分同相であるような状態に収束するための十分条件を提示し、それが球面への微分同相性を示すこと。

提案手法

• $\alpha \geq n+2$ の $L^\alpha$ 範囲を用いた平均曲率ベクトルの積分的曲率条件を用いて特異点を制御し、流れを拡張すること。
• $|A|^2$ と $|H|^2$ の一様な境界を用いて、超曲面からの拡張定理を有界幾何構造を持つリーマン多様体内の部分多様体へ一般化すること。
• $\mathring{A} = A - \frac{1}{n}g \otimes H$ の tracefree 第二基本形式を用いて、球面からのずれを測定し、収束を制御すること。
• $\widetilde{F}_t = \frac{F_t - x}{\sqrt{2n(T-t)}}$ を用いたスケーリングにより漸近的挙動を解析し、 $C^\infty$ 収束が単位 $n$-球面に至ることを証明すること。
• 最大存在時刻の推定と放物型正則性を用いて、有限時刻区間における滑らかな解が保証されること。
• $n$, $p$, 体積、および $A$ や $H$ の $L^{n+2}$ 範囲に依存する明示的定数 $C_1$ と $C_2$ を導出することで、収束の閾値を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^{n+d}$ 内の閉部分多様体における平均曲率流れが、有限最大時刻 $T$ を超えて拡張可能となる積分的曲率条件は何か？
• RQ2 tracefree第二基本形式 $\mathring{A}$ に対してどの $L^p$ 範囲が、平均曲率流れが有限時刻に球面的点に収束することを保証するか？
• RQ3 $p > n$ に対して $||\mathring{A}||_p < C$ を満たす部分多様体に対して、スケーリングされた流れが単位 $n$-球面に $C^\infty$ 収束するか？
• RQ4 $\mathring{A}$ の $L^n$ 範囲が十分に小さいと、$\mathbb{R}^{n+d}$ 内の閉部分多様体が標準 $n$-球面と微分同相であることが保証されるか？
• RQ5 正曲率の空間形式における平均曲率流れは、$\mathring{A}$ の $L^n$ 制御下で、有限時刻に点に収束するか、または完全測地的部分多様体に収束するか？

主な発見

• 有界幾何構造を持つリーマン多様体内の閉部分多様体における平均曲率流れは、$|A|^2 \leq a|H|^2 + b$ かつ $\|H\|_{\alpha,M\times[0,T)} < \infty$ （$\alpha \geq n+2$）を満たす場合、時刻 $T$ を超えて拡張可能である。
• $\|\mathring{A}\|_p < C_1$ （$p > 1$）ならば、$\mathbb{R}^{n+d}$ 内の平均曲率流れは有限時刻区間 $[0,T)$ に存在し、一様に点に収束する。スケーリングされた流れは $C^\infty$ で単位 $n$-球面に収束する。
• $p > n$ に対して $\|\mathring{A}\|_p < C_2$ ならば、$\mathbb{R}^{n+d}$ 内の平均曲率流れも再び有限区間で存在し、点に収束する。同じくスケーリング後に球面的極限に至る。
• 収束定理は微分同相球面定理を示唆する： $\mathring{A}$ の $L^p$ 範囲が十分に小さい閉部分多様体は、標準 $n$-球面と微分同相である。
• 明示的定数 $C_1$ と $C_2$ は、それぞれ $n$, $p$, $M$ の体積、および $\|A\|_{n+2}$ や $\|H\|_{n+2}$ に依存し、収束の定量的閾値を提供する。
• 本結果は、 $\|\mathring{A}\|_4$ が小さいホモトピー的4次元球面をユークリッド空間に埋め込むことで、4次元における滑らかなポincare予想の証明への道筋を示唆する。