[論文レビュー] Mean curvature flow of singular Riemannian foliations

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上の一般化等パラメトリックなフォリエーションにおける正則な葉の平均曲率流（MCF）を研究する。コンパクト性および基本的な平均曲率ベクトル場の条件のもとで、MCFは有限時刻の特異点に至るまで正則な葉を通じて発展し、その特異点は常にタイプIであり、特異な葉に収束する。これは、等パラメトリック部分多様体および等長的群作用に関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Given a singular Riemannian foliation on a compact Riemannian manifold, we study the mean curvature flow equation with a regular leaf as initial datum. We prove that if the leaves are compact and the mean curvature vector field is basic, then any finite time singularity is a singular leaf, and the singularity is of type I. These results generalize previous results of Liu and Terng, Pacini and Koike. In particular our results can be applied to partitions of Riemannian manifolds into orbits of actions of compact groups of isometries.

研究の動機と目的

• 球面および対称空間における等パラメトリック部分多様体の平均曲率流に関する既知の結果を、一般化等パラメトリックなフォリエーションのより広いクラスへと拡張すること。
• コンパクトな葉と基本的な平均曲率ベクトル場を持つ特異なリーマンフォリエーションにおいて、正則な葉から出発するMCFの挙動を調査すること。
• MCFが有限時刻の特異点を発生させる条件を確立し、そのような特異点の性質を特定すること。
• 特異点がタイプIであり、流れが $ t \to T $ のとき特異な葉に収束することを示し、Liu-TerngおよびKoikeの結果を一般化すること。

提案手法

• 本研究は平均曲率流方程式 $ \frac{d}{dt}\varphi_t = H(t) $ を用いる。ここで $ H(t) $ は、変化する部分多様体 $ L(t) $ の平均曲率ベクトルである。
• 一般化等パラメトリックなフォリエーション—特に基本的な平均曲率形式を持つもの—を、コンパクトな葉を持つコンパクトなリーマン多様体上に適用する。
• 幾何的発展技術を用い、特異点のタイプを特徴付けるために第二基本形式ノルム $ \|A_t\|_\infty $ を用いる。
• 比較幾何学およびホロノミー・ジャコビ場を用いて、特に非負の曲率を持つ多様体において、葉に直交する測地線に 沿う体積の変化を分析する。
• 有限時刻特異点の証明には体積単調性を用いる：$ \frac{d}{dt}\log\mathrm{vol}(L(t)) = -\|H\|^2 $ であり、これは $ H=0 $ でない限り体積が減少することを意味する。
• 非負曲率多様体上の極性フォリエーションに対しては、体積が最小の葉で最大となるチューブ状近傍を構成し、これにより無限時刻MCFとは矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化等パラメトリックなフォリエーションにおける正則な葉の平均曲率流が、フォリエーションの葉の内に留まる条件は何か？
• RQ2 このような流れにおける有限時刻特異点は分類可能か？特異点のタイプは常にIか？
• RQ3 コンパクトな一般化等パラメトリックなフォリエーションにおける正則な葉のMCFは、$ t \to T $ のとき特異な葉に収束するか？
• RQ4 非負曲率多様体において、等パラメトリックなフォリエーションの正則な葉から出発するMCFは、必ず有限時刻特異点を持つのか？
• RQ5 極性フォリエーションにおいて、最小の正則な葉に体積最大化性があると、無限時刻MCFが防がれるのか？

主な発見

• コンパクトな葉と基本的な平均曲率ベクトル場を持つ一般化等パラメトリックなフォリエーションにおける正則な葉の平均曲率流は、$ t \in [0, T) $ の間、完全に正則な葉を通じて発展する。
• 最大存在時刻 $ T $ が有限であれば、流れはフォリエーションの特異な葉に収束する。
• 時刻 $ T $ における特異点はタイプIであり、$ \limsup_{t\to T^{-}} \|A_t\|_\infty^2 (T-t) < \infty $ を満たす。これは、曲率の発散が制御可能であることを保証する。
• コンパクトで非負曲率の多様体において、任意の正則初期葉から出発する等パラメトリックなフォリエーションは、有限時刻MCF特異点を有する。
• 非負曲率多様体上の極性フォリエーションにおいて、すべての正則最小葉は局所的体積最大点である。これは、無限時刻MCFが生じえないことを示唆する。
• 最小の葉に直交する測地線に沿う体積関数は、そのユークリッドモデルによって上から抑えられ、$ \mathrm{vol}(L_{\gamma_X(s)}) \leq \mathrm{vol}(L^\prime) $ が $ s \in [0, 1/\|A\|_\infty] $ で成り立つ。これにより局所的最大性が保証される。