[論文レビュー] Mean-Field Delayed BSDEs with Jumps

Nacira Agram|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、遅れ定数δまで遅延された解過程の過去値に依存する生成子を備えた、ジャンプ付き平均場後向きストキャスティック微分方程式（MF-BSDE）の解の存在および一意性を確立する。重み付きノルム空間における固定点法を用いて、Lipschitz条件を満たす生成子および終端条件のもとで、十分に小さいδおよび任意の有限時間区間Tに対して一意解が存在することを証明する。

ABSTRACT

We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of mean-field backward stochastic differential equations with time delayed generator in the sense that at t, the generator may depend on previous values up to a delay constant δ not on the hole past as in Delong and Imkeller [10], [13]. For sufficiently small delay constant δ and for any finite time horizon, we get a unique solution.

研究の動機と目的

• 生成子に時間遅延を含め、ジャンプを含む平均場後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を拡張すること。
• 解過程の現在値だけでなく、過去値に依存する生成子を有するBSDEを解くという課題に取り組むこと。
• ジャンプを含む遅延的および平均場的依存構造のもとで、解の存在および一意性を保証する十分条件を確立すること。
• 従来の遅延BSDEに関する先行研究を一般化し、過去全体の経路依存ではなく、有限遅延δに制限された依存構造にすること。
• 意思決定者が遅延情報に直面するファイナンスおよび確率的制御分野への応用が可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• ブラウン運動およびレヴィ過程（補正付きポアソン確率測度を伴う）によって駆動される平均場遅延BSDE（MF-DBSDE）を定式化する。
• 解過程の成長を制御するため、指数関数的重みe^{βt}を用いた重み付きノルム空間を導入する。
• 適応過程の完備距離空間における固定点法を用いて、存在および一意性を証明する。
• 2つの解の差のノルムの二乗に伊藤の公式を適用し、事前推定を得る。
• 伊藤の公式展開における交差項を抑え込むために、一般化されたヤングの不等式を用いる。
• 遅延δが十分に小さいとき、収縮写像条件が成立し、一意な不動点が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子が有限遅延δまで遅延された解過程の過去値に依存する場合、ジャンプ付き平均場遅延BSDEが一意解をもつための条件は何か？
• RQ2 遅延δが十分に小さい場合、ジャンプおよび平均場的成分を含んでも、任意の有限時間区間Tに対して解の存在および一意性を保証できるか？
• RQ3 ポアソン確率測度を伴うレヴィ過程を含む場合、ジャンプなしの拡散型ケースと比較して、遅延付き平均場BSDEの可解性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 有限遅延（全経路依存性と比較して）という遅延構造が、ジャンプ付きMF-DBSDEの可解性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 収縮写像の原理をジャンプ付きおよび有限遅延を有するMF-DBSDEに適用可能か？ また、一意解が得られるためのδに関する条件は何か？

主な発見

• δが十分に小さい限り、有限時間区間Tにかかわらず、ジャンプ付きおよび有限遅延δを有するMF-DBSDEに対して一意解が存在する。
• 生成子が解過程(Y, Z, K)の過去値およびその分布に依存するものであり、生成子および終端条件がリプシッツ連続である限り、解が保証される。
• 収縮写像の原理は、指数関数的因子e^{βt}を用いた重み付きノルムを介して適用され、反復スキームの収束が保証される。
• 一意性のための重要な条件は、e^{-βr}の[-δ, 0]区間における積分に1/ρを乗じた値が1未満であることであり、これはδが小さいときに成立する。
• 解の差の評価には伊藤の公式と一般化されたヤングの不等式を用い、重み付きL²空間内での収縮が得られる。
• アグラムとオクセンダールが導入した測度のヒルベルト空間を用いることで、解過程の分布に依存する平均場的依存構造が許容される。