[論文レビュー] Mean-field description of plastic flow in amorphous solids

Jie Lin, Matthieu Wyart|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Material Dynamics and Properties参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、吸収境界を持つバイアス付きレヴィ飛行として剪切変換イベントをモデル化することで、非晶質固体における塑性変形の平均場モデルを構築した。このモデルは、広範な機械的ノイズの分布を捉え、密度関数 $P(x) \sim x^{\theta}$ で特徴づけられる剪切変換の擬似ギャップ指数 $\theta$ を解析的に計算した。等方的クエンチ後、$\theta = 1/2$ を得ており、外力に依存する非単調な依存関係も予測している。4次元では正確な予測が得られ、3次元でも妥当な一致が得られており、本モデルが真の平均場極限であることを支持する。

ABSTRACT

Failure and flow of amorphous materials are central to various phenomena including earthquakes and landslides. There is accumulating evidence that the yielding transition between a flowing and an arrested phase is a critical phenomenon, but the associated exponents are not understood, even at a mean-field level where the validity of popular models is debated. Here we solve a mean-field model that captures the broad distribution of the mechanical noise generated by plasticity, whose behavior is related to biased Lévy flights near an absorbing boundary. We compute the exponent $θ$ characterising the density of shear transformation $P(x)\sim x^θ$, where $x$ is the stress increment beyond which they yield. We find that after an isotropic thermal quench, $θ=1/2$. However, $θ$ depends continuously on the applied shear stress, this dependence is not monotonic, and its value at the yield stress is not universal. The model rationalizes previously unexplained observations, and captures reasonably well the value of exponents in three dimensions. Values of exponents in four dimensions are accurately predicted. These results support that it is the true mean-field model that applies in large dimension, and raise fundamental questions on the nature of the yielding transition.

研究の動機と目的

• 非晶質固体における塑性変形および降伏の定量的微視的記述の欠如を解消すること。特に、臨界降伏応力付近での挙動を対象とする。
• 剪切変換応力分布 $P(x) \sim x^{\theta}$ における擬似ギャップ指数 $\theta$ の起源と非ユニバーサル性を理解すること。
• 標準的なモデル（HL や LC など）を超えて、塑性変形に起因する広範な機械的ノイズの分布を捉える平均場モデルを構築すること。
• 本モデルが高次元における $\theta$ を正しく予測できるか、および有限次元のシミュレーションと一致するかを検証すること。

提案手法

• 剪切変換を、指数 $\mu$ を持つ1次元のバイアス付きレヴィ飛行としてモデル化し、吸収境界を設け、コンact区間内での再挿入を伴う。
• 確率的解析とフーリエ変換を用いて、応力ゆらぎの粗視化された分布 $w_\gamma(\xi)$ を導出し、カットオフを含むパワー則的尾部を組み込む。
• $\gamma \to 0$ の極限における漸近的解析を適用し、$P(x)$ のスケーリング挙動を抽出。$x^{-\theta-1}$ のパワー則的尾部から $\theta$ を同定。
• モデルを解析的に解き、指数 $\theta$ が外力剪切応力に対して連続的かつ非単調に依存することを示した。
• $d=4$ における数値シミュレーションと比較し、標準的およびシャッフルドカーネルの両方を用いて妥当性を検証。
• レヴィ飛行ダイナミクスから導かれる関係式 $\theta = \mu - 1$（$\mu \in (1,2)$）を用い、微視的ノイズ統計と巨視的 rheological べき乗指数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広範な機械的ノイズの分布を捉えることのできる、非晶質固体における塑性変形の正しい平均場モデルは何か？
• RQ2 なぜ擬似ギャップ指数 $\theta$ は外力に依存し、ユニバーサルでないのか？
• RQ3 平均場極限において予測される $\theta$ の値は何か？ 有限次元のシミュレーションと比較するとどうなるか？
• RQ4 本モデルは、シミュレーションおよび実験で観測された $\theta$ の非単調な挙動を説明できるか？
• RQ5 本モデルは高次元において $\theta$ を正確に予測できるか？ これにより、真の平均場理論としての有効性が支持されるか？

主な発見

• 等方的熱的クエンチ後、擬似ギャップ指数は正確に $\theta = 1/2$ となり、これはレヴィ飛行モデルにおける $\mu = 3/2$ に相当する。
• 指数 $\theta$ は外力剪切応力に対して連続的かつ非単調に依存し、中間的な応力で最小値を示し、降伏応力に近づくに従い上昇する。
• 降伏応力における $\theta$ の値はユニバーサルではなく、システムパラメータに依存し、臨界定常状態のシナリオとは矛盾する。
• 4次元では、モデルは $\theta_{4D}^{MF} = 0.24 \pm 0.02$ を予測し、数値シミュレーションの $\theta_{4D} = 0.25 \pm 0.01$ と一致する。
• シャッフルドカーネルの場合、モデルは $\theta_{4D}^{SF} = 0.24 \pm 0.01$ を予測し、シミュレーション結果と整合的である。
• 本モデルは、以前説明がつかなかった観測結果（例：非単調な $\theta(\Sigma)$ 依存性、3次元における $\theta$ の値）を合理的に説明でき、高次元における真の平均場理論としての役割を支持する。