[論文レビュー] Mean-Field Leader-Follower Games with Terminal State Constraint

Guanxing Fu, Ulrich Horst|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形 McKean-Vlasov 前向き後向き SDE に終端状態制約を課した場合の解の存在および一意性を、線形アンサッツ $ R = AQ + H $ を用いた新しい二段階継続法によって確立している。主な貢献は、非対称情報と期待値フィードバックを伴うリーダーフォロワー型ポートフォリオ解体ゲームに対する確率的最適性原理の確立であり、これはペナルティ付き解の Cesàro 収束を用いて証明されている。

ABSTRACT

We analyze linear McKean-Vlasov forward-backward SDEs arising in leader-follower games with mean-field type control and terminal state constraints on the state process. We establish an existence and uniqueness of solutions result for such systems in time-weighted spaces as well as a {convergence} result of the solutions with respect to certain perturbations of the drivers of both the forward and the backward component. The general results are used to solve a novel single-player model of portfolio liquidation under market impact with expectations feedback as well as a novel Stackelberg game of optimal portfolio liquidation with asymmetrically informed players.

研究の動機と目的

• 状態過程に終端状態制約を課した平均場制御を伴うリーダーフォロワー型ゲームを扱う。特に、非対称情報下でのポートフォリオ解体を対象とする。
• 前向き過程に特異な終端条件が課された線形 McKean-Vlasov FBSDE に対して、解の存在および一意性を確立する。
• ドライバの摂動を考慮したペナルティ付き解の収束を分析することで、平均場リーダーフォロワー型ゲームに対する確率的最適性原理を構築する。
• 期待値フィードバックを伴う最適ポートフォリオ解体における新規の単一プレーヤーおよび Stackelberg ゲームを解くための厳密な解析的枠組みを提供する。
• ペナルティ問題の解の極限挙動を特徴づけることで、将来の数値的手法の基盤を築く。

提案手法

• 前向きおよび後向き成分を分離するために、線形アンサッツ $ R_t = A_t Q_t + H_t $ を用い、システムを $ A $ に対する特異な終端条件を有する外生的 BSDE および $ H $ に対する既知の漸近的挙動を有する BSDE に変換する。
• モデルパラメータの有界性仮定の下で、時刻重み付き空間におけるネストド継続的議論を用いて、FBSDE システムの解の存在および一意性を証明する。
• 終端状態制約の下での近似解を得るため、元の FBSDE システムのペナルティ版を導入し、$ 1 < \nu < 2 $ における $ L^\nu $-ノルムで収束を証明する。
• $(Q, H, R)$ の結合的性質を扱うために、適切な関数空間における不動点議論を用いることで、FBSDE に対して標準的な継続法の限界を克服する。
• ペナルティ付き解の系列に対する Cesàro 平均化スキームを用いて、最適戦略および価値関数の収束を確立し、制約付き解への収束を示す。
• 伊藤の公式および事前推定を用いて、安定性および収束結果を導出する。条件付き期待値および Malliavin 微積分の技術を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向き過程に終端状態制約が課され、後向き過程の終端値が未知である線形 McKean-Vlasov FBSDE に対して、解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 特に非対称情報下でのポートフォリオ解体において、終端状態制約を伴う平均場リーダーフォロワー型ゲームに対して、確率的最適性原理をどのように導出できるか？
• RQ3 ドライバ $ \overline{f} $ および $ \overline{g} $ の摂動に対して、ペナルティ付き FBSDE の解の収束挙動はどのように振る舞い、どの位相で発生するか？
• RQ4 制約付きポートフォリオ解体問題の最適戦略および価値関数は、ペナルティ問題の解の極限として回復可能か？
• RQ5 期待値フィードバックおよび非公開情報が、Stackelberg 型ポートフォリオ解体ゲームにおける均衡戦略をどのように規定するか？

主な発見

• 係数の有界性仮定の下で、時刻重み付き空間において、終端状態制約付き線形 McKean-Vlasov FBSDE の解の存在および一意性が確立された。
• ドライバ $ \overline{f} $ および $ \overline{g} $ の摂動に対して、解が $ L^\nu $-ノルム（$ 1 < \nu < 2 $）で収束することが示され、これは標準的な $ L^2 $-収束では得られない結果である。
• 終端状態制約付きのポートフォリオ解体ゲームにおけるリーダーの最適戦略は、ペナルティ付き問題の最適戦略系列の Cesàro 限界として示された。
• 制約付き問題の価値関数は、ペナルティ問題の価値関数の凸結合の極限として得られ、近似スキームの整合性が確認された。
• ペナルティ付き解の極限を分析することで、非対称情報下での均衡戦略の特徴づけを可能にする、平均場リーダーフォロワー型ゲームに対する新規な確率的最適性原理が導出された。
• 事前推定、ファトウの補題、および有界収束定理を組み合わせることで、共役過程および状態軌道が制約付き解に収束することが確立された。