[論文レビュー] Mean field propagation of Wigner measures and BBGKY hierarchies for general bosonic states

Zied Ammari, Francis Nier|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、WeylとWickの量子化を統合することで、無限次元フォック空間内の一般のボソン状態に対するWigner測度の平均場伝播を確立した。初期状態に付随するWigner測度がハミルトニアン $ h(z,\bar{z}) $ によって生成される古典的流れに沿って伝播することを証明した。主な結果は、非線形相互作用を有する量子多体系への半古典的伝播の拡張を実現し、平均場極限においてハートリー＝フォンノイマン方程式を回復する。

ABSTRACT

Contrary to the finite dimensional case, Weyl and Wick quantizations are no more asymptotically equivalent in the infinite dimensional bosonic second quantization. Moreover neither the Weyl calculus defined for cylindrical symbols nor the Wick calculus defined for polynomials are preserved by the action of a nonlinear flow. Nevertheless taking advantage carefully of the information brought by these two calculuses in the mean field asymptotics, the propagation of Wigner measures for general states can be proved, extending to the infinite dimensional case a standard result of semiclassical analysis.

研究の動機と目的

• 有限次元から無限次元ボソンフォック空間へのWigner測度の半古典的伝播の拡張を目的とする。
• 無限次元におけるWeylとWickの量子化の漸近的同値性の破綻を解消することを目的とする。
• WeylとWickの計算を組み合わせたハイブリッドアプローチを用いて、非線形ハミルトニアンの流れに沿ったWigner測度の伝播を確立することを目的とする。
• 多体系量子力学の平均場極限としてハートリー＝フォンノイマン方程式を導出することを目的とする。

提案手法

• 無限次元フォック空間におけるWeylとWickの微積分のギャップを埋めるためのハイブリッドWeyl-Wick量子化フレームワークを導入する。
• 数演算子の一様なモーメント束縛のもとで、観測量のトレースの弱極限によって定義されるWigner測度を用いる。
• 一般の正規状態で有限モーメントを持つ場合の平均場極限を分析するため、縮退密度行列のBBGKY階層を適用する。
• Wigner測度がハミルトニアン $ h(z,\bar{z}) $ によって生成される古典的ハミルトニアンの流れに従って進化することを示すことによって伝播を確立する。
• $ \varepsilon \to 0 $ の極限における動的制御のため、切断されたDyson展開とコンパクト状態法を用いる。
• 縮退密度行列が極限状態のテンソル積に $ \mathcal{L}^1 $-ノルムで収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のボソン状態に対して、無限次元フォック空間におけるWigner測度を一貫して定義・伝播させることは可能か？
• RQ2 無限次元におけるWeylとWickの量子化の非同値性は、どのように平均場力学において是正されるか？
• RQ3 $ \varepsilon \to 0 $ の極限において、ハミルトニアン $ h(z,\bar{z}) $ によって生成される古典的ハミルトニアンの流れ $ \mathbf{F}_t $ がWigner測度の伝播を支配するか？
• RQ4 Wigner測度の伝播を用いて、多体系量子進化の平均場極限としてハートリー＝フォンノイマン方程式を導出できるか？
• RQ5 Wigner測度の存在を保証するための数演算子モーメント条件 $ \mathrm{Tr}[\varrho_\varepsilon \mathbf{N}^k] < \infty $ の役割は何か？

主な発見

• 初期状態 $ \varrho_\varepsilon $ に付随するWigner測度 $ \mu_0 $ は、古典的流れ $ \mathbf{F}_t $ 沿って伝播し、$ \mu_t = \mathbf{F}_t^* \mu_0 $ となる。これにより平均場伝播が証明された。
• 初期状態 $ \varrho_\varepsilon(0) = |\sqrt{\varrho_0}^{\otimes N}\rangle\langle\sqrt{\varrho_0}^{\otimes N}| $ の場合、Wigner測度 $ \mu_0 = \delta_{\sqrt{\varrho_0}}^{S^1} $ は $ \mu_t = \delta_{\omega(t)}^{S^1} $ に進化し、ここで $ \omega(t) $ はハートリー＝フォンノイマン方程式を満たす。
• 縮退密度行列 $ \gamma^{(k)}_\varepsilon(t) $ は $ \mathcal{L}^1 $-ノルムで $ \varrho(t)^{\otimes k} $ に収束する。これにより、多体系量子状態の平均場極限が確認された。
• 古典的流れ $ \mathbf{F}_t $ は $ L^2 $-ノルムと位相対称性を保存する：$ |\mathbf{F}_t(\omega)|_{\mathcal{Z}} = |\omega|_{\mathcal{Z}} $ および $ \mathbf{F}_t(e^{-i\theta}\omega) = e^{-i\theta}\mathbf{F}_t(\omega) $。
• ある $ \delta > 0 $ に対して $ \mathrm{Tr}[\varrho_\varepsilon \mathbf{N}^\delta] \leq C_\delta $ というモーメント条件のもとで、結果は成り立つ。これにより、部分列のWigner測度の存在が保証される。
• すべての $ b \in \mathcal{P}_{k,k}({\mathcal{Z}}) $ に対して、観測量の収束 $ \mathrm{Tr}[\varrho_\varepsilon(t) b^{Weyl}] \to \int_{\mathcal{Z}} b(\omega_t) \, d\mu_0(\omega) $ が確立され、極限の位相空間幾何的性質が裏付けられた。