[論文レビュー] Mean-square convergence rates of implicit Milstein type methods for SDEs with non-Lipschitz coefficients

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非グローバルリプシッツ係数を有する確率微分方程式（SDE）に対して、両方の項（ドリフト項と拡散項）を2つのパラメータ（θ, η）で暗黙的に扱う、二重暗黙のミルスタイン型スキームの族を提案する。本手法は、緩和された条件下でも平均二乗収束次数1を達成し、ヘストン3/2およびアイト・サライア金利モデルを含む3つの金融SDEモデルにおいて、最適な収束性と正値性保存性が示された。

ABSTRACT

A class of implicit Milstein type methods is introduced and analyzed in the present article for stochastic differential equations (SDEs) with non-globally Lipschitz drift and diffusion coefficients. By incorporating a pair of method parameters $θ, η\in [0, 1]$ into both the drift and diffusion parts, the new schemes are indeed a kind of drift-diffusion double implicit methods. Within a general framework, we offer upper mean-square error bounds for the proposed schemes, based on certain error terms only getting involved with the exact solution processes. Such error bounds help us to easily analyze mean-square convergence rates of the schemes, without relying on a priori high-order moment estimates of numerical approximations. Putting further globally polynomial growth condition, we successfully recover the expected mean-square convergence rate of order one for the considered schemes with $θ\in [ frac12, 1], η\in [0, 1]$. Also, some of the proposed schemes are applied to solve three SDE models evolving in the positive domain $(0, \infty)$. More specifically, the particular drift-diffusion implicit Milstein method ($ θ= η= 1 $) is utilized to approximate the Heston $ frac32$-volatility model and the stochastic Lotka-Volterra competition model. The semi-implicit Milstein method ($θ=1, η= 0$) is used to solve the Ait-Sahalia interest rate model. Thanks to the previously obtained error bounds, we reveal the optimal mean-square convergence rate of the positivity preserving schemes under more relaxed conditions, compared with existing relevant results in the literature. Numerical examples are also reported to confirm the previous findings.

研究の動機と目的

• 標準的なイェルラー＝マリヤミー法が発散するため、非グローバルリプシッツ係数を有するSDEに対して、収束性が保証されない場合に、頑健な数値スキームの開発を目的とする。
• 特に金融モデルで正値性が求められる stiff または超線形SDEにおいて、明示スキームの平均二乗収束保証の欠如に対処することを目的とする。
• 数値近似の高次モーメント推定に依存せずに、正値性を保存し、最適な収束速度を達成する暗黙のミルスタイン型スキームの設計を目的とする。
• 既存の研究よりも弱い条件下で収束理論を確立し、特に正値性保存スキームに対してその理論的基盤を強化することを目的とする。
• ヘストン3/2、確率的ロトカ＝ヴォルテラ、アイト・サライア金利モデルの3つのベンチマークSDEモデルに対する数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• θ, η ∈ [0,1] でパラメータ化された二重暗黙のミルスタイン型スキームを提案し、ドリフト項 f(Y) と拡散項 g(Y) の両方を暗黙的に扱う。
• ΔW_n と反復伊藤積分 I_{j1,j2}^{tn,tn+1} を組み込むことで、2次効果を捉え、イェルラー＝マリヤミー法よりも精度を向上させる。
• ドリフトと拡散における暗黙性をそれぞれθとηが制御する半暗黙の定式化を採用し、安定性と正値性を実現する。
• 数値近似の事前モーメント推定に依存せず、正確な解にのみ依存するバインドを用いた誤差解析を実施する。
• 係数にグローバル多項式成長条件が成り立つ場合に理論的収束性を確立し、θ ∈ [1/2,1]、η ∈ [0,1] の範囲で1次平均二乗収束が回復可能であることを示した。
• 特定のケース（例：θ=η=1 および θ=1, η=0）における明示的可解性を示し、正領域SDEへの実用的実装を可能とした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値近似の事前モーメント境界を要件としない条件下で、非グローバルリプシッツ係数を有するSDEに対して、暗黙のミルスタイン型スキームが1次平均二乗収束を達成できるか？
• RQ2 超線形成長を示すSDEにおいて、係数とスキームパラメータ（θ, η）にどのような条件を課すと、収束性と正値性保存性の両方が保証されるか？
• RQ3 剛性SDEに対して、提案された二重暗黙スキームは、従来の明示的または単一暗黙スキームと比較して、収束速度および安定性の面で優位性を示すか？
• RQ4 緩和された仮定のもとで、正値性保存スキームの理論的収束次数1を厳密に回復でき、数値的にも確認できるか？
• RQ5 ヘストン3/2ボラティリティモデルやアイト・サライア金利モデルといった実際の金融モデルにおいて、本スキームの性能はいかがなものか？

主な発見

• ヘストン3/2ボラティリティモデルに対して、θ=η=1 の二重暗黙ミルスタイン法が緩和された条件下でも平均二乗収束次数1を達成した。
• 確率的ロトカ＝ヴォルテラ競争モデルでは、同一スキームが正値性を維持し、平均二乗収束次数0.9923を達成し、理論的予測を裏付けた。
• アイト・サライア金利モデルに半暗黙ミルスタインスキーム（θ=1, η=0）を適用した場合、標準ケースで収束次数0.9798、臨界ケースで1.0129を示し、両者とも1次収束と整合的であった。
• 数値シミュレーションにより、ヘストン3/2および確率的LVモデルの10,000サンプルパスすべてで正値性が保持されたことが確認された。
• 誤差解析フレームワークは、事前高次モーメント推定に依存しないため、非リプシッツSDEに対するより単純な収束証明が可能となった。
• 本研究の結果は、従来の文献よりも制約の緩い仮定のもとで、このようなモデルにおける正値性保存スキームの最適収束速度を初めて達成した。