[論文レビュー] Measurable regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、無限次元リー群における測度的正則性の性質を確立し、Banach-およびFréchet-リー群に対してLp-正則性を導入する。これは、p ∈ [1, ∞] に対して、Evolution写像 Evol を Lp([0,1], g) に拡張することにより実現される。Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ が滑らかであることを証明し、古典的な Ck-正則性を測度的・可積分的曲線へ一般化する。この理論は、微分同相群やゲージ群といった重要な群に適用され、Trotterの公式および交換子公式の有効性を保証する。

ABSTRACT

We consider differential equations of the form y'(t)=f(t,y(t)) on a (possibly infinite-dimensional) Lie group G, for f : [0,1] x G -> TG a time-dependent left invariant vector field with measurable (but not necessarily continuous) dependence on t. If a solution Evol(c):=y on [0,1] starting at the neutral element e of G exists for each f corresponding to an L^1-curve c : [0,1] -> g in the Lie algebra g of G, and Evol is smooth as a map from L^1([0,1],g) to C([0,1],G), then G is called L^1-regular. We show that all Banach-Lie groups are L^1-regular, as well as all direct limits of finite-dimensional Lie groups and many further classical examples of infinite-dimensional Lie groups, like diffeomorphism groups of paracompact finite-dimensional smooth manifolds. If a Lie group G is L^1-regular, then the Trotter product formula and the commutator formula hold in G, in a strong sense. The same conclusion holds if G merely satisfies certain weaker measurable regularity properties (like L^p-regularity), which are discussed as well. As a tool, we study differentiability properties of certain non-linear mappings to vector-valued Lebesgue spaces and spaces of vector-valued absolutely continuous functions.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群における正則性の概念を、Ck-滑らかな曲線を超えて測度的およびLp可積分曲線へ拡張すること。
• Banach-およびFréchet-リー群に対して、Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ の存在および滑らかさを確立すること。
• Lp-正則性がC0-正則性を意味し、Trotterの公式および交換子公式の有効性を意味することを示すこと。
• 微分同相群やバナッハ構造群をもつ主 bundle のゲージ群といった重要なリー群のクラスにこの枠組みを適用すること。
• Lp-正則性、L∞rc-正則性、および制御正則性を導入し、それらの概念を統一・一般化することで、包含関係の階層を示すこと。

提案手法

• ACLp([0,1], g) を、Lp([0,1], g) に倣った導関数をもつ絶対連続曲線の空間と定義し、Banach-Lie代数をなす。
• 連続的曲線の空間内に ACLp([0,1], G)₀ = ⟨expG ◦γ : γ ∈ ACLp([0,1], g)⟩ として積分部分群を構成する。
• Carathéodoryの理論に従い、測度的右辺をもつ微分方程式を用いて、Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ が適切に定義され、滑らかであることを証明する。
• 微分同相群の接空間をコンパクト台付きベクトル場と同一視することで、Evol を多様体上の流れに関連付ける。
• 射影および帰納的極限を用いて、Fréchet-Lie群およびBanach-Lie群に理論を適用し、局所チャートおよび弱可積分性を用いて正則性を検証する。
• 進化写像がリー群の構造を保ち、群演算と可換であることを確立し、制御関数 γ に対する滑らかな依存性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元リー群において、Evol を Ck([0,1], g) から p ∈ [1, ∞] に対して Lp([0,1], g) へ拡張できるか。
• RQ2 Banach-およびFréchet-リー群におけるLp-正則性が、進化写像の構造および滑らかさに与える影響は何か。
• RQ3 Lp-正則性、L∞rc-正則性、および制御正則性の間の階層的関係は何か。また、これらはTrotterの公式や交換子公式にどのような意味を持つのか。
• RQ4 微分同相群やバナッハ構造群をもつ主 bundle のゲージ群は、測度的正則性の性質をどの程度満たすか。
• RQ5 進化方程式のCarathéodory解の存在が、Lp設定におけるEvol写像の滑らかさを意味するか。

主な発見

• 任意のFréchet-Lie群 G と p ∈ [1, ∞] に対して、G が Lp-正則性をもてば、任意の q ≥ p に対して Lq-正則性をもつことが示され、正則性の階層が確立される。
• L∞-正則性は L∞rc-正則性を含み、それによって R-正則性（制御正則性）を含み、R-正則性は C0-正則性を含む。
• すべての p ∈ [1, ∞] に対して、進化写像 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ が滑らかであることが示され、古典的な Ck-正則性が測度的および可積分的曲線へ一般化される。
• σ-コンパクトな有限次元多様体 M の微分同相群 Diffc(M) に対して、Evol は測度的ベクトル場 f(t, y) = γ(t)(y) のグローバルフローに対応し、η(t) = Φf_{t,0} と表される。
• この構成により、進化写像が群構造および接バンドルの同一視と整合的であり、同型写像 αφ: Tφ Diffc(M) → Γφ を介して保証される。
• 結果として、Trotter積の公式および交換子公式が Lp-正則リー群において有効であることが示され、制御理論および表現論における測度的制御への適用範囲が拡張される。