[論文レビュー] Measurable versions of the Lov\'{a}sz Local Lemma and measurable graph colorings.

Anton Bernshteyn|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、標準的ボレル空間上の群作用に対して、測度的およびボレル版のロヴァーシュ・ローカル・レーム（LLL）を確立し、局所的有限性またはシフト作用の構造がある場合、ほとんど everywhere で制約を満たす測度的彩色を構成できることを示している。主な結果として、自由群によって生成されるシフトグラフの測度的彩色数に対する漸近的にタイトな上界が得られ、ライオンズとナザロフの問いを解決した。さらに、エントロピーとコルモゴロフ複雑性を用いて、可解群に対する逆結果を証明した。

ABSTRACT

In this paper we investigate the extent to which the Lov\'asz Local Lemma (an important tool in probabilistic combinatorics) can be adapted for the measurable setting. In most applications, the Lov\'asz Local Lemma is used to produce a function $f \colon X o Y$ with certain properties, where $X$ is some underlying combinatorial structure and $Y$ is a (typically finite) set. Can this function $f$ be chosen to be Borel or $\mu$-measurable for some probability Borel measure $\mu$ on $X$ (assuming that $X$ is a standard Borel space)? In the positive direction, we prove that if the set of constraints put on $f$ is, in a certain sense, "locally finite," then there is always a Borel choice for $f$ that is "$\varepsilon$-close" to satisfying these constraints, for any $\varepsilon > 0$. Moreover, if the combinatorial structure on $X$ is "induced" by the $[0;1]$-shift action of a countable group $\Gamma$, then, even without any local finiteness assumptions, there is a Borel choice for $f$ which satisfies the constraints on an invariant conull set (i.e., with $\varepsilon = 0$). A direct corollary of our results is an upper bound on the measurable chromatic number of the graph $G_n$ generated by the shift action of the free group $\mathbb{F}_n$ that is asymptotically tight up to a factor of at most $2$ (which answers a question of Lyons and Nazarov). On the other hand, our result for structures induced by measure-preserving group actions is, at least for amenable groups, sharp in the following sense: a probability measure-preserving action of a countably infinite amenable group satisfies the measurable version of the Lov\'asz Local Lemma if and only if it admits a factor map to the $[0;1]$-shift action. To prove this, we combine the tools of the Ornstein--Weiss theory of entropy for actions of amenable groups with concepts from computability theory, specifically, Kolmogorov complexity.

研究の動機と目的

• 測度的およびボレル設定へのロヴァーシュ・ローカル・レームの拡張、すなわち解が測度的またはボレル構造を尊重する必要があること。
• 局所的制約を満たす測度的またはボレル関数が、特に群作用の文脈で、どのような条件下で構成可能かを特定すること。
• ライオンズとナザロフが提起した、自由群 $ F_n $ のシフトグラフの測度的彩色数に関する問いを解決すること。
• 可解群の確率測度保存作用が測度的LLLを満たす条件を、エントロピーとコルモゴロフ複雑性を用いて同定すること。

提案手法

• 測度的設定におけるLLLの近似版を導入し、制約を満たす関数がε近傍内で存在することを証明する。
• モーザー＝タロスのアルゴリズム的枠組みを、構成的確率的手法を用いて測度的およびボレル設定に適応する。
• 可解群作用のオルンシュタイン＝ヴァイスのエントロピー理論の道具を用い、制約の漸近的挙動を分析する。
• コルモゴロフ複雑性と一様離散性を用いて、悪影響イベントおよびその近傍の構造を分析する。
• 群作用のケイリー図に基づく、サイズおよび制約強度でパrameter化されたボレルインスタンスの列を構成する。
• 可解群に対して、測度的LLLが成り立つのは、作用が $[0,1]$-シフト作用へ因子写像をもつときであり、かつそのときに限ることを示す逆結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の組合せ的構造において、ロヴァーシュ・ローカル・レームを測度的またはボレル関数が局所的制約を満たすように適応可能か？
• RQ2 自由群 $ F_n $ のシフト作用によって生成されるグラフの測度的彩色数は何か？ これは $ n $ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 可解群に対して、局所的制約系に測度的解をもつのはどのような作用か？
• RQ4 可解群作用の測度的LLLは、$[0,1]$-シフト作用へ因子写像をもつことに同値か？
• RQ5 エントロピーとコルモゴロフ複雑性は、制約系に対する測度的解の存在をどのように特徴づけるか？

主な発見

• 自由群 $ F_n $ が生成するシフトグラフの測度的彩色数は、$ 2\Delta + 2 $ 以下であり、これは要因2の範囲で漸近的にタイトである。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、制約系が局所的有限であれば、局所的制約を $ \varepsilon $-近傍で満たすボレル関数が存在する。
• 可算群の $[0,1]$-シフト作用によって誘導される群作用の場合、制約を余核不変集合上で満たすボレル解が存在する。
• 可解群に対して、確率測度保存作用が測度的LLLを満たすのは、$[0,1]$-シフト作用へ因子写像をもつときであり、かつそのときに限る。
• 作用のエントロピーが無限大であることは、任意に大きなLLLインスタンスが $ \varepsilon $-正しく、したがって測度的解が存在することを意味する。