[論文レビュー] Measure-Theoretically Mixing Subshifts of Minimal Word Complexity

Darren Creutz|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2022

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、符号的力学系における長年の未解決問題を解決し、部分符号的シフトにおける測度論的強い混合性の正確な閾値として、超線形的語の複雑さが同定された。語の複雑さが線形に非常に近いが超線形的であるようなシフトを構成し、強い混合性を有することが示された一方で、非超線形的複雑さは部分的剛性をもたらし、したがって混合性を欠くことを証明した。

ABSTRACT

We resolve a long-standing open question on the relationship between measure-theoretic dynamical complexity and symbolic complexity by establishing the exact word complexity at which measure-theoretic strong mixing manifests: For every superlinear $f : \mathbb{N} o \mathbb{N}$, i.e. $f(q)/q o \infty$, there exists a subshift admitting a (strongly) mixing of all orders probability measure with word complexity $p$ such that $p(q)/f(q) o 0$. For a subshift with word complexity $p$ which is non-superlinear, i.e. $\liminf p(q)/q < \infty$, every ergodic probability measure is partially rigid.

研究の動機と目的

• シフトにおける測度論的強い混合性が発生する最小の語の複雑さの問題を解決すること。
• 任意にゆっくりと超線形的であるが、線形関数より速く成長する語の複雑さを有するシフトが、依然として強い混合性を有する不変測度を有することを示すこと。
• 語の複雑さが非超線形的である（すなわち、liminf p(q)/q < ∞）シフトでは、すべてのエルゴディック測度が部分的剛性を示し、したがって強い混合性を有しないことを証明すること。
• 超線形的閾値において、構造的複雑さ（S-アディック、部分的剛性）と動的複雑さ（強い混合性）の明確な二分法を明確にすること。

提案手法

• 超線形的だが部分2乗未満の語の複雑さを達成しつつ、混合性を実現するための、新しいランク1変換のクラスである「準階段型」変換を構成した。
• 区間交換とタワー構築技術に基づく再帰的構成を用い、語の複雑さを制御するとともに、混合性の性質を保証した。
• シリンダ集合と帰還時間にかかわる測度論的推定を適用し、すべての順序における強い混合性を検証した。
• タワーのレベルに関する再帰的議論を用いて、長期間の帰還時間における正の測度の交わりを保証し、非超線形的ケースにおける部分的剛性を確認した。
• 語の複雑さの解析に、Cassaigneの公式 p(q) = p(m) + ∑_{ℓ=m}^{q−1} |{w ∈ L^{RS} : ||w|| = ℓ}| を用いた。
• 平均エルゴディック定理と測度論的同型の議論を用い、シフトの構造的性質とその動的挙動との関係を関連づけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い混合性を有する不変測度を有するシフトにおける、語の複雑さ関数 p(q) の最小値は何か？
• RQ2 語の複雑さが線形に非常に近いシフトにおいて、強い混合性を有する測度が存在するか？
• RQ3 部分的剛性系と強い混合性系を分ける明確な語の複雑さの閾値は存在するか？
• RQ4 非超線形的語の複雑さは、部分的剛性を示すエルゴディック測度の存在とどのように関係するか？
• RQ5 S-アディック構造は、シフトの動的複雑さをどの程度制限するか？

主な発見

• 任意の超線形関数 f: ℕ → ℕ で f(q)/q → ∞ を満たすものに対して、p(q)/f(q) → 0 かつすべての順序における強い混合性を有する不変測度を有するシフトが存在する。
• 構成された例はランク1変換であるため、すべての順序で混合性を有し、語の複雑さを線形成長に非常に近いものにまで制御した。
• 語の複雑さが非超線形的（すなわち、liminf p(q)/q < ∞）であるシフトでは、すべてのエルゴディック測度が部分的剛性を示し、したがって強い混合性を有しない。
• この部分的剛性は、このようなシフトがS-アディックシフトに同相であることを示し、これらが高レベルの構造的整然さを有することを示唆する。
• 超線形的複雑さの閾値は、非超線形的ケースでは高々可算個のエルゴディック測度を有するのに対し、超線形的ケースでは非可算個のエルゴディック測度を有するという点で、CyrとKraの結果と整合する。
• 本論文は、超線形的語の複雑さが、構造的（S-アディック、部分的剛性）と複雑な（強い混合性）動的挙動の正確な分岐点であることを確立した。