[論文レビュー] Measure, Topology and Probabilistic Reasoning in Cosmology

Erik Curiel|PhilSci-Archive (University of Pittsburgh)|Sep 7, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、宇宙論における確率的推論を厳密に検討し、時空の無限次元空間では、トポロジーと測度論に基づく標準的手法が失敗することを主張している。特異点や宇宙定数に関する広く用いられている議論が、物理的に意味のある測度が存在しない限り、厳密な根拠を持たないことを示している。

ABSTRACT

I explain the difficulty of making various concepts of and relating to probability precise, rigorous and physically significant when attempting to apply them in reasoning about objects (e.g., spacetimes) living in infinite-dimensional spaces, working through many examples from cosmology. I focus on the relation of topological to measure-theoretic notions of and relating to probability, how they diverge in unpleasant ways in the infinite-dimensional case, and are difficult to work with on their own as well in that context. Even in cases where an appropriate family of spacetimes is finite-dimensional, however, and so admits a measure of the relevant sort, it is always the case that the family is not a compact topological space, and so does not admit a physically significant, well behaved probability measure. Problems of a different but still deeply troubling sort plague arguments about likelihood in that context, which I also discuss. I conclude that most standard forms of argument used in cosmology to estimate the likelihood of the occurrence of various properties or behaviors of spacetimes have serious mathematical, physical and conceptual problems.

研究の動機と目的

• 無限次元空間における時空の確率的推論の基礎的問題を特定・分析すること、特に時空族の無限次元空間における問題に焦点を当てる。
• 宇宙論的文脈において、トポロジー的「大きさ」（例：一般性、安定性）と測度論的「確率」の概念の間にある乖離を検討すること。
• 物理的に意味のある測度が明示的に定義されていないまま、トポロジー的一般性を高い確率と同一視する広く用いられている宇宙論的議論の妥当性を疑問視すること。
• 有限次元の時空族でさえ、コンパクト性の欠如により、良好に振る舞う確率測度が存在しないことを示すこと。
• 測度の存在やトポロジーと整合性があることを正当化しないまま、暗黙の測度に依存する人間中心的および特異点に基づく議論を批判すること。

提案手法

• 宇宙論に関連する無限次元空間における確率の概念的および数学的基礎を分析する。特に、時空族に焦点を当てる。
• トポロジー的概念（開集合、第一Category集合、微小摂動に対する安定性）と測度論的概念（大測度、零集合）を対比し、無限次元においてそれらが不整合であることを示す。
• ローレンツ型分割定理および関連する剛性定理を適用し、特異点のない時空がトポロジカルに安定であるが、測度論的にも一般的であるとは限らないことを示す。
• ワインバーグによる宇宙定数の人間中心的議論を解体し、近似FLRW時空上の未規定の測度に依存していることを明らかにする。
• 関数空間上のボレル測度とトポロジーの枠組みを用いて、無限次元の時空族には物理的に意味のある測度が存在しないことを示す。
• 整合性のある測度が存在しないことにより、一般性や典型的性の主張でさえ、数学的に正当化されないことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に明確に定義された測度が存在しない限り、時空族におけるトポロジー的一般性や安定性の概念を確率的尤度と信頼して同一視できるか？
• RQ2 特異点の発生確率や宇宙定数の値に関する標準的確率的議論が、なぜ無限次元の時空空間では失敗するのか？
• RQ3 自然なトポロジーと整合する物理的に意味のあるボレル測度が、時空族に存在するか？
• RQ4 有限次元性とコンパクト性の仮定が、宇宙論的モデル空間における良好に振る舞う確率測度の存在に与える影響は何か？
• RQ5 下位の測度空間が数学的に明確に定義されていない場合、人間中心的推論はどの程度正当化できるか？

主な発見

• 無限次元の時空空間では、トポロジー的「大きさ」（例：開かつ稠密な集合）が正の測度を意味するとは限らず、確率的結論は正当化されない。
• 有限次元の時空族ですら、コンパクト性の欠如により、物理的に意味のある良好に振る舞う確率測度が存在しない。
• 特異点のない時空が「測度ゼロ」とされる主張は、ボレル測度が定義されていなければ無効であり、それにもかかわらずトポロジカルに安定であることは事実である。
• 近似FLRW時空上に測度を仮定する人間中心的議論は、非一様な摂動の無限次元空間ではそのような測度が存在しないため、数学的根拠を欠いている。
• ローレンツ型分割定理に基づく多くの宇宙論的議論は、整合性のある測度を仮定しているが、その正当化が欠落しているため、確率的結論は数学的に根拠がない。
• 本論文は、多くの標準的確率的議論が、物理的に意味のある測度が明示的に定義されていないため、深刻な数学的・物理的・概念的欠陥を抱えていると結論づける。