[論文レビュー] Measurement-based quantum computation--a quantum-mechanical toy model for spacetime?

Robert Raussendorf, Pradeep Kiran Sarvepalli+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時空の量子力学的トイモデルとして、測定に基づく量子計算（MBQC）を提案し、量子測定の固有のランダム性が因果的時間的順序を強制することを示している。測定の因果的順序が、相対論的現象としての事象の地平線、光円錐、閉じた時間的曲線の類似物として現れることを特定し、安定化子状態と測定基底から導かれるマトロイド構造を用いて有効な時間的順序を分類している。

ABSTRACT

We propose measurement-based quantum computation (MBQC) as a quantum mechanical toy model for spacetime. Within this framework, we discuss the constraints on possible temporal orders enforced by certain symmetries present in every MBQC. We provide a classification for all MBQC temporal relations compatible with a given initial quantum state and measurement setting, in terms of a matroid. Further, we find a symmetry transformation related to local complementation that leaves the temporal relations invariant. After light cones and closed time-like curves have previously been found to have MBQC counterparts, we identify event horizons as a third piece of the phenomenology of General Relativity that has an analogue in MBQC.

研究の動機と目的

• 量子力学が測定誘発の制約を通じて、特に時間的順序を含む時空構造を生成できるかどうかを調査すること。
• MBQCの枠組み内で、光円錐、閉じた時間的曲線、事象の地平線といった相対論的時空現象を特定・分類すること。
• 資源状態と測定基底の情報を捉えるマトロイド構造を用いて、MBQCにおける測定順序の制約を形式化すること。
• 時間的順序を保存する対称性変換、特に局所補完性に関連するものを見つけることにより、MBQCにおけるより深い構造的不変性を明らかにすること。
• MBQCにおける古典的処理ルールが、測定のランダム性が計算に影響しないように保証するが、これを量子時空モデルにおける基本法則として解釈できるかを検討すること。

提案手法

• MBQCにおける資源状態と測定基底を記述する安定化子形式を用い、それが時間的順序を決定する役割を強調する。
• すべての古典的処理関係と時間的順序情報を符号化するマトロイド ${\cal{G}}(|\Psi\rangle)$ を導入し、その基底が有効な時間的順序と一対一に対応することを示す。
• 古典的出力を保存しながら処理関係を変更するゲージ変換群を特定し、これが資源状態と測定設定を同値の意味で完全に再構成可能であることを示す。
• 測定平面の反転（局所補完性に関連）によって生成される対称性群を定義し、これが時間的順序を保存することを示し、このような順序が群の表現としてどのように生じるかを説明する。
• 境界集合 $I_{\text{gauge}}$ および $O_{\text{comp}}$ に関連する影響行列 $T$ および追加行列 $H$、$R$、$Z$ を分析し、古典的処理と因果的依存関係を符号化する。
• マラメントの定理に類似する観点を提示し、処理関係に符号化されたMBQCにおける時間的構造が、平面コードや3次元／4次元クラスタ状態などのセルラーコンプレックスを通じて位相的「空間」の概念を定義しうることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ変換と測定平面の反転という2つの対称性群を、時間的順序を保存する1つの代数的構造に統合できるか？
• RQ2 与えられた安定化子状態と測定平面に対して、時間的順序を部分順序に制限し、閉じた時間的曲線を除外する構造が存在するか。また、最小の $O_{\text{comp}}$ 部分順序は効率的に計算可能か？
• RQ3 局所補完性群による時間的順序表現の可約性が、既約表現への分解に与える影響は何か。また、時間的順序はこのような分解においてどこに符号化されているか？
• RQ4 MBQCにおける適切な「空間」の概念は何か。これは、資源状態に関連するセルラーコンプレックスとどのように結びつけることができるか？
• RQ5 量子計算の文脈を超えて、より広い物理的文脈において、MBQCの古典的処理ルールが現在は測定のランダム性から計算を守るためにのみ機能しているが、これを置き換える根本的原理は何か？

主な発見

• マトロイド ${\cal{G}}(|\Psi\rangle)$ は、与えられた安定化子状態と測定基底設定と-compatibleなすべての古典的処理関係と時間的順序を完全に捉えており、その基底が有効な時間的順序と一対一に対応する。
• 古典的出力を保存しながら処理ルールを変更するゲージ変換群が存在し、この群により資源状態と測定設定を同値の意味で完全に再構成可能である。
• 測定平面の反転（局所補完性に関連）によって生成される対称性群は時間的順序を保存し、MBQCにおける時間的順序がこの群の表現として生じることを示している。
• 事象の地平線は、光円錐と閉じた時間的曲線に続く、相対論的現象の第三の類似物としてMBQCに同定され、一般相対性理論への現象的類似を完成させている。
• MBQCにおける古典的処理ルールは、現在は操作的制約として見なされているが、これを専用のMBQC装置における基本法則として解釈でき、ニュートンの法則やマクスウェルの法則に類似しており、意識的な主体によって任意に破られない。
• 影響行列 $T$ および関連行列 $H$、$R$、$Z$ はMBQCの完全な因果的構造を符号化しており、マトロイドと併せて測定角を除いて計算を決定づける。これは、マラメントの定理に類似した、時空幾何学との深い関係を示唆している。