[論文レビュー] Measurement-efficient quantum Krylov subspace diagonalisation

Zongkang Zhang, Anbang Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実時間発展演算子の積分としてハミルトニアンの累乗とガウス関数を表現することにより、統計誤差を最小化する測定効率の高い量子クライロフ部分空間対角化アルゴリズムを提案する。これにより指数的誤差抑制が可能となり、既存手法と比較して測定コストを10⁴〜10¹²倍まで低減する。特に基底状態射影のための効率的プロジェクタ構築により、その効果が顕著である。

ABSTRACT

The Krylov subspace methods, being one category of the most important classical numerical methods for linear algebra problems, can be much more powerful when generalised to quantum computing. However, quantum Krylov subspace algorithms are prone to errors due to inevitable statistical fluctuations in quantum measurements. To address this problem, we develop a general theoretical framework to analyse the statistical error and measurement cost. Based on the framework, we propose a quantum algorithm to construct the Hamiltonian-power Krylov subspace that can minimise the measurement cost. In our algorithm, the product of power and Gaussian functions of the Hamiltonian is expressed as an integral of the real-time evolution, such that it can be evaluated on a quantum computer. We compare our algorithm with other established quantum Krylov subspace algorithms in solving two prominent examples. To achieve an error comparable to that of the classical Lanczos algorithm at the same subspace dimension, our algorithm typically requires orders of magnitude fewer measurements than others. Such an improvement can be attributed to the reduced cost of composing projectors onto the ground state. These results show that our algorithm is exceptionally robust to statistical fluctuations and promising for practical applications.

研究の動機と目的

• 統計的フラクチュエーションに起因する量子クライロフ部分空間対角化（KSD）における高い測定コストを解消すること。
• 量子KSDアルゴリズムにおける統計誤差と測定コストを分析する一般的な理論枠組みを構築すること。
• 基底状態エネルギー推定のためのハミルトニアン累乗クライロフ部分空間を構築する際の測定オーバーヘッドを最小化すること。
• 近位の量子デバイスにおける統計ノイズへの感受性を低減することで、ロバストで実用的な量子シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• ハミルトニアン累乗とガウス関数の積を実時間発展演算子の積分として表現し、時間発展演算回路による量子的評価を可能にする。
• チェビシェフ多項式を用いて、区間[-1, 1]内で励起状態を抑制しつつ基底状態を分離するプロジェクタを構築する。
• ハミルトニアンのずれ (H - E₀)^(k-1) の線形結合としてチェビシェフプロジェクタを展開し、効率的な量子回路実装を可能にする。
• 多項式展開の係数に対する上界を導出し、オーバーヘッドを制御し、測定効率を保証する。
• 代表的なモデル（反強磁性的ヘイズンバーグ模型およびハーバード模型）をさまざまな格子サイズでベンチマークし、測定コストを比較する。
• スペクトル分解とチェビシェフ多項式の性質を用いて、多項式次数の増加に伴い励起状態寄与が指数的に抑制されることを保証する。

Figure 1: Empirical distribution of the measurement overhead $\gamma$ for algorithms listed in Table 1 . In the Gaussian-power algorithm, we take a random $E_{0}$ in the interval $[E_{g}-0.1\|H\|_{2},E_{g}+0.1\|H\|_{2}]$ , i.e. we assume that we have a preliminary estimation of the ground-state ener

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実際の測定制約下で、量子クライロフ部分空間対角化における統計誤差を厳密に評価し、最小化することは可能か？
• RQ2 与えられた精度を達成するための量子KSDアルゴリズムにおける測定回数の理論的上界は何か？
• RQ3 実時間発展演算子の積分を用いることで、測定コストを低減しつつハミルトニアン累乗クライロフ部分空間を効率的に構築できるか？
• RQ4 代表的な量子多体模型において、提案手法の測定コストは既存の量子KSD手法と比べてどのように異なるか？
• RQ5 チェビシェフ多項式に基づくプロジェクタは、基底状態エネルギー推定における有効な測定オーバーヘッドをどの程度低減できるか？

主な発見

• 提案手法は、既存の量子クライロフ部分空間対角化手法と比較して、測定コストを10⁴〜10¹²倍まで低減した。
• 統計誤差は多項式次数の増加に伴い指数的に減少する。これは、チェビシェフ多項式による励起状態寄与の指数的抑制に起因する。
• 本フレームワークは、すべての量子KSDアルゴリズムに適用可能な一般的な測定回数の上界を提供し、系統的なコスト比較を可能にする。
• 本アルゴリズムの統計的フラクチュエーションへのロバスト性は、時間発展演算子の積分を用いた基底状態への効率的プロジェクタ構築に起因する。
• 反強磁性的ヘイズンバーグ模型およびハーバード模型に対するベンチマークにより、本手法のスケーラビリティと優位性が、さまざまな格子サイズで確認された。
• 多項式展開におけるオーバーヘッド係数γは幾何級数によって上界が与えられ、系サイズに応じた制御可能なリソーススケーリングが保証される。

Figure 2: The Hadamard-test circuit $\mathcal{C}_{s}$ . The qubit on the top is the ancilla qubit. The unitary operator $U_{\varphi}$ prepares the state $|{\varphi}\rangle$ , i.e. $U_{\varphi}|{0}\rangle^{\otimes n}=|{\varphi}\rangle$ . When the ancilla qubit is measured in the $X$ (or $Y$ ) basis,