[論文レビュー] Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、良い開集合条件を満たす半双曲的有理関数半群に対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元、パッキング次元、ボックスカウント次元が等しくかつ有限であり、$ h $ 次元ハウスドルフ測度およびパッキング測度がともに正かつ有限であることを確立する。さらに、関連するスケュー積写像上で、一意的な $ h $ 準同形測度および一意的な絶対連続不変確率測度が存在することを示し、これらは互いに同値であり、メトリカルに正確である。本研究は、臨界点を含む半群ダイナミクスへの準同形測度理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider the dynamics of semi-hyperbolic semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. Assuming that the nice open set condition holds it is proved that there exists a geometric measure on the Julia set with exponent $h$ equal to the Hausdorff dimension of the Julia set. Both $h$-dimensional Hausdorff and packing measures are finite and positive on the Julia set and are mutually equivalent with Radon-Nikodym derivatives uniformly separated from zero and infinity. All three fractal dimensions, Hausdorff, packing and box counting are equal. It is also proved that for the canonically associated skew-product map there exists a unique $h$-conformal measure. Furthermore, it is shown that this conformal measure admits a unique Borel probability absolutely continuous invariant (under the skew-product map) measure. In fact these two measures are equivalent, and the invariant measure is metrically exact, hence ergodic.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の有限個の有理写像によって生成される半双曲的有理関数半群のジュリア集合のフラクタル幾何を調査すること。
• 良い開集合条件の下で、ジュリア集合のハウスドルフ次元、パッキング次元、ボックスカウント次元が等しくかつ有限であることを特定すること。
• 半群に関連するスケュー積写像上に、一意的な $ h $ 準同形測度が存在することを確立すること。
• ハウスドルフ測度と同値な一意的なボレル確率測度が存在することを証明し、その測度は準同形測度に関して絶対連続であり、メトリカルに正確かつ混合的であることを示すこと。
• 特にジュリア集合内に臨界点を含む状況を扱うことで、半群ダイナミクスへの準同形測度理論を拡張すること。

提案手法

• 非単射写像とジュリア集合内に臨界点を有する場合を扱うために、準同形反復関数系および拡大的有理関数半群ダイナミクスの技法を適応すること。
• 非単射写像における逆像の挙動を制御するため、測度の推定可能性の一般化された概念を導入すること。
• 測度論的解析のため、半群作用を繊維的力学系に持ち上げるスケュー積写像構成を用いること。
• 後退的像における重なりを制御するため、良い開集合条件を適用すること。
• ポincare級数の臨界指数を用いてハウスドルフ次元 $ h $ を特定し、これがボックス次元およびパッキング次元に等しいことを示すこと。
• ポテンシャル論的および幾何的議論を用いて一意的な $ h $ 準同形測度の存在を証明し、その後、それが一意的な不変確率測度と同値であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い開集合条件の下で、半双曲的有理関数半群のジュリア集合のハウスドルフ次元、パッキング次元、ボックスカウント次元は一致するか？
• RQ2 ハウスドルフ次元に等しい指数 $ h $ を持つ、ジュリア集合上の幾何的測度が存在するか？そのとき、$ h $ 次元ハウスドルフ測度およびパッキング測度はともに有限かつ正であるか？
• RQ3 このような半群に関連する標準的スケュー積写像に対して、一意的な $ h $ 準同形測度が存在するか？
• RQ4 ハウスドルフ測度に関して絶対連続であり、スケュー積写像に関して不変であるような、ジュリア集合上の一意的なボレル確率測度が存在するか？
• RQ5 ハウスドルフ測度とパッキング測度のラドン＝ニコディム導関数は、ゼロおよび無限大から一様に離れているか？

主な発見

• ジュリア集合 $ J(G) $ のハウスドルフ次元、パッキング次元、ボックスカウント次元は等しくかつ有限であり、$ \text{HD}(J(G)) = h < 2 $ が成り立つ。
• $ J(G) $ 上の $ h $ 次元ハウスドルフ測度およびパッキング測度はともに有限かつ正であり、互いに同値であり、ラドン＝ニコディム導関数はゼロおよび無限大から一様に離れている。
• 半群 $ G $ のポincare級数の臨界指数は、ジュリア集合のハウスドルフ次元 $ h $ に等しい。
• スケュー積写像 $ \tilde{f} $ のジュリア集合上に、一意的な $ h $ 準同形測度 $ \tilde{m}_h $ が存在する。
• $ J(\tilde{f}) $ 上に、$ \tilde{m}_h $ に関して絶対連続であり、$ \tilde{\mu}_h $ がメトリカルに正確かつ混合的である一意的なボレル確率測度 $ \tilde{\mu}_h $ が存在する。
• 準同形測度 $ \tilde{m}_h $ と不変測度 $ \tilde{\mu}_h $ は同値であり、ラドン＝ニコディム導関数は上界および下界によって有界である。