[論文レビュー] Memoryless output nullification and canonical forms, for time varying systems

Gera Weiss|ArXiv.org|Mar 15, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、システムが完全可制御かつ完全可観測であり、すべての $ k $ に対して $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ を満たす限り、有限ステップ内に時間変化する1入力1出力線形システムを一様にゼロ化できるメモリレス出力フィードバック制御アルゴリズムを提示する。この手法は時変コントローラー正準形を用い、最大 $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ ステップでゼロ化を保証する。また、システムの不変量に基づいて構成された明示的なフィードバック則が得られる。

ABSTRACT

We study the possibility of nullifying time-varying systems with memoryless output feedback. The systems we examine are linear single-input single-output finite-dimensional time-varying systems. For generic completely controllable and completely observable discrete-time systems, we show that any state at any time can be steered to the origin within finite time. An algorithm for nullification and an upper bound for nullification time, depending only on the system's dimension, are provided. The algorithm is described using a representation of the system in time-varying controller canonical form. We verify that every completely controllable system has such a representation. The application of the nullification algorithm to sampled-data systems is also analysed: we show that a controllable continuous-time time-varying system with analytic coefficients can be nullified utilising zero-hold sampling of the output and time-varying memoryless linear feedback; for generic observables, almost any sampling period can be used. We also prove that controllability of time-varying systems with analytic coefficients is preserved under zero-hold sampling at almost any rate.

研究の動機と目的

• 時間変化する線形システムがメモリレス出力フィードバックによってゼロ化可能な十分条件を確立すること。
• 有限時間内に状態をゼロ化するフィードバックゲインを計算する明示的アルゴリズムを開発すること。
• システム次元にのみ依存する、ゼロ化時間の上界を導出すること。
• 解析的係数をもつ連続時間システムにおけるゼロホールド標本化下での可制御性の保存を分析すること。

提案手法

• 代数的同値変換を用いて、システムを時変コントローラー正準形に表現する。
• メモリレスフィードバック下でのゼロ化可能性の主要基準として、不変量 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ を用いる。
• 閉ループシステムが有限ステップで原点に到達するように、フィードバック則 $ u_k = F_k y_k $ を構成する。
• 状態の各成分を $ n $ サイクルにわたり逐次ゼロに駆り込む再帰的ゼロ化手順を適用する。
• 類似変換における余因子行列と行列式の不変性を活用し、正準形間でゼロ化条件が保存されることを保証する。
• 標本化データシステムを分析し、解析的係数をもつシステムでは、ほぼ任意の標本化レートで可制御性が保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変化する線形システムがメモリレス出力フィードバックによっていつゼロ化可能か？
• RQ2 システム次元にのみ依存する、ゼロ化時間の有限上界を導出可能か？
• RQ3 コントローラー正準形は、ゼロ化のためのメモリレスフィードバック設計をどのように支援するか？
• RQ4 ゼロホールド標本化は、解析的係数をもつ時間変化する連続時間システムの可制御性を保存するか？
• RQ5 すべての $ k $ に対して $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ である条件は、時間変化するシステムにおけるゼロ化にとって必要かつ十分か？

主な発見

• すべての $ k $ に対して $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ を満たす完全可制御かつ完全可観測な時間変化する離散時間システムは、メモリレス出力フィードバックによって一様にゼロ化可能である。
• ゼロ化時間の上界は $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ ステップであり、$ n $ はシステム次元を表す。
• コントローラー正準形表現により、ゼロ化条件は出力ベクトル $ c_k $ の最初の成分のチェックに簡略化される。
• 条件 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ は代数的同値変換に対して不変であり、正準形解析が可能になる。
• 解析的係数をもつ連続時間システムでは、ほぼ任意の標本化レートでゼロホールド標本化下でも可制御性が保存される。
• アルゴリズムはコントローラー正準形を用いて、実装可能な明示的なフィードバック係数 $ F_k $ を構成する。