[論文レビュー] Meromorphic Levy processes and their fluctuation identities

Alexey Kuznetsov, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ワイナー＝ホプフ因子がラプラス指数の実数の極と根を用いて表現される有理関数である、新しいクラスのリーヴィ過程（メロモルフィック・リーヴィ過程、M過程）を導入する。著者らは逆ラプラス変換と数値積分を用いて、最初の通過時刻、オーバーシート、反射過程に関する明示的なフラクチュエーション恒等式を導出し、リスク理論、ファイナンス、キューイングモデルにおける連合分布の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

The last couple of years has seen a remarkable number of new, explicit examples of the Wiener-Hopf factorization for Levy processes where previously there had been very few. We mention in particular the many cases of spectrally negative Levy processes, hyper-exponential and generalized hyper-exponential Levy processes, Lamperti-stable processes, Hypergeometric processes, Beta-processes and Theta-processes. In this paper we introduce a new family of Levy processes, which we call Meromorphic Levy processes, or just M-processes for short, which overlaps with many of the aforementioned classes. A key feature of the M-class is the identification of their Wiener-Hopf factors as rational functions of infinite degree written in terms of poles and roots of the Levy-Khintchin exponent, all of which appear on the imaginary axis of the complex plane. The specific structure of the M-class Wiener-Hopf factorization enables us to explicitly handle a comprehensive suite of fluctuation identities that concern first passage problems for finite and infinite intervals for both the process itself as well as the resulting process when it is reflected in its infimum. Such identities are of fundamental interest given their repeated occurrence in various fields of applied probability such as mathematical finance, insurance risk theory and queuing theory.

研究の動機と目的

• ラプラス指数の実数の極と根を用いて有理的表現が可能なワイナー＝ホプフ因子を備える、新しいリーヴィ過程のクラス、すなわちメロモルフィック・リーヴィ過程（M過程）を定義すること。
• 既知のクラスを超えて、有限および無限区間における最初の通過問題に対する明示的フラクチュエーション恒等式を拡張すること。
• 逆ラプラス変換を用いて、ゲルバー＝シャオ測度および割引オーバーシート分布の計算に実用的な公式を提供すること。
• 金融モデリングにおける例として、確率的ボラティリティを有する時間変化付きリーヴィ過程へのフレームワークの適用可能性を示すこと。

提案手法

• ラプラス指数が実数の極と根のみを有することによりM過程を定義し、ワイナー＝ホプフ因子の有理的表現を可能にする。
• ワイナー＝ホプフ因数分解を用いて、逆ラプラス変換によりゲルバー＝シャオ測度および割引オーバーシートの明示的表現を導出する。
• ラプラス変数qを含む複素積分表現を用いて、最初の通過時刻とオーバーシートの同時密度を構築する。
• フィロン型求積法と根および極の無限級数の切断を用いた数値逆変換技術を適用し、密度の効率的計算を実現する。
• 最初の通過時刻のラプラス変換がすべての恒等式に現れることを活用し、同時空間・時間分布の数値的フーリエ逆変換を可能にする。
• 時間変化プロセスのラプラス変換が既知である場合に、元の恒等式の構造を保ちつつ、時間変化付きリーヴィ過程への結果の拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイナー＝ホプフ因子が無限次の有理関数であり、実数の極とラプラス指数の根で表現されるような、新しいリーヴィ過程のクラスを定義可能か？
• RQ2 このような過程に対して、有限および無限区間における最初の通過問題の明示的フラクチュエーション恒等式はどのように導出可能か？
• RQ3 このクラスにおいて、最初の通過時刻とオーバーシートの同時密度を効率的に計算するための数値的手法は何か？
• RQ4 このフレームワークは、確率的ボラティリティを有する時間変化付きリーヴィ過程へ拡張可能か？解析的取り扱いの容易さを保ったままか？
• RQ5 提案された数値逆変換手法の実装における計算効率はいかがなものか？

主な発見

• M過程のワイナー＝ホプフ因子は、ラプラス指数の実数の極と根を用いた無限積として表現され、明示的フラクチュエーション恒等式の実現を可能にする。
• オーバーシートと最初の通過時刻の同時密度は、ラプラス変数qを含む複素積分として与えられ、標準的なアルゴリズムを用いて数値的に逆変換可能である。
• 密度u(s,x)の数値計算は、100個の根と200個の極での切断を用い、q₀ = 0.25および|Im(q)| < 10⁴の条件下で、1グラフあたり約1.2秒で実行可能である。
• この手法は、ドリフトなしおよび線形ドリフトを持つラッダープロセスの両方を的確に捉えており、プロセスの種別に応じて線形トレンドに沿った質量集中またはゼロにおけるアトムを示す。
• 時間変化プロセスのラプラス変換が既知であれば、フレームワークは時間変化付きリーヴィ過程へ直接拡張可能であり、確率的ボラティリティを有するモデルへ応用可能である。
• 導出されたすべての恒等式は、ラプラス指数の根／極と基本的な線形代数を用いて明示的に計算可能であり、オーバーシートや最終最大値などの空間変数についても閉形式の表現が得られる。