[論文レビュー] Meromorphic Projective Structures, Opers and Monodromy

Titouan Sérandour|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2023

Geometric and Algebraic TopologyMathematics被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1975年のHejhalの結果を、固定された残留部型の極をもつメロモルフィックな射影構造へ一般化する。正則でない重み付き接続と特異なリッカティ foliation の滑らかな族を構成し、等モノドロミー変形とEhresmannの横断性を用いて、モノドロミー写像（今やStokesデータを含む）が局所的に正則同型写像であることを証明する。これは、古典的な微分同相写像結果をメロモルフィックな設定へ拡張するものである。

ABSTRACT

The complex projective structures considered is this article are compact curves locally modeled on $\mathbb{CP}^1$. To such a geometric object, modulo marked isomorphism, the monodromy map associates an algebraic one: a representation of its fundamental group into $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$, modulo conjugacy. This correspondence is neither surjective nor injective. Nonetheless, it is a local diffeomorphism [Hejhal, 1975]. We generalize this theorem to projective structures admitting poles (without apparent singularity and with fixed residues): the corresponding monodromy map (including Stokes data) is a local biholomorphism.

研究の動機と目的

• 正則な射影構造からメロモルフィックな射影構造へ、モノドロミー写像が局所微分同相写像であるというHejhalの古典的結果を拡張すること。
• 固定された残留部型の極をもつメロモルフィックな射影構造に対して、モノドロミー対応にStokesデータを組み込むこと。
• 固定された極をもつメロモルフィックな射影構造のモジュライ空間と、Stokesデータをもつ表現のモジュライ空間との間で、局所的正則同型写像を確立すること。
• メロモルフィックな射影構造の文脈において、不規則特異点へのリーマン＝ヒルベルト対応を一般化すること。
• オペルとリッカティfoliationを用いて、不規則特異点を伴う状況におけるモノドロミー写像の幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 最小的双有理モデルを用いて、特異点をもたないメロモルフィックな射影構造に関連するPGL(2,C)-オペルの滑らかな族を構成する。
• 固定された形式的データをもつ特異リッカティfoliationのモジュライ空間を定義し、滑らかさと等モノドロミー変形と整合することを保証する。
• 積空間上の特異リッカティfoliationの普遍的解析的族を用いて、局所的に等モノドロミー変形をモデル化する。
• 射影構造のモジュライ空間をリッカティfoliationのモジュライ空間に埋め込む写像に対してEhresmannの横断性を適用し、モノドロミーのファイバーと横断的であることを保証する。
• 解析的族の普遍的性質を活用して、オペルとfoliationの族への局所的単射を誘導する。
• ドメインの不変性と、定義域と値域の次元が等しいことを利用して、モノドロミー写像が局所的正則同型写像であると結論づける。

Figure 1: If the $\varphi_{ij}:=\varphi_{i}\circ\varphi_{j}^{-1}$ denote the change of coordinate charts of $P$ as well as the associated Möbius transformations, then the monodromy along the loop $\gamma$ covered by the charts $U_{0},\dots,U_{n}$ is obtained by composition of the $\varphi_{ij}$ : $\

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PGL(2,C)-表現のモジュライ空間において、固定された極の残留部をもつメロモルフィックな射影構造のモノドロミーとして現れる表現は、どのような条件下で生じるか？
• RQ2 固定された極の残留部をもつメロモルフィックな射影構造のモジュライ空間から、Stokesデータをもつ表現のモジュライ空間へのモノドロミー写像は、局所的正則同型写像か？
• RQ3 メロモルフィックなオペルとリッカティfoliationの文脈において、等モノドロミー変形と不規則なリーマン＝ヒルベルト対応はどのように相互作用するか？
• RQ4 Stokesデータを含めた場合、メロモルフィックな射影構造に対してモノドロミー写像を局所的に単射にできるか？
• RQ5 固定された特異点をもつメロモルフィックな射影構造のモジュライ空間の幾何的構造は何か？ そして、表現多様体とはどのように関係するか？

主な発見

• 固定された極の残留部をもつメロモルフィックな射影構造のモジュライ空間から、StokesデータをもつPGL(2,C)-表現のモジュライ空間へのモノドロミー写像は局所的正則同型写像である。
• メロモルフィックなオペルの滑らかな族の構成により、関連するリッカティfoliationが等モノドロミー変形と整合的に滑らかに変化することが保証される。
• 射影構造のモジュライ空間をリッカティfoliationのモジュライ空間に埋め込む写像は、モノドロミー写像のファイバーと横断的であり、局所的単射性を保証する。
• 固定された極をもつメロモルフィックな射影構造のモジュライ空間の次元は、Stokesデータをもつ表現空間の次元と一致しており、正則同型写像の結論を支持する。
• 等モノドロミー変形とEhresmannの横断性を用いることで、単射性の問題を局所的な微分位相的議論に還元できる。
• この結果は、1975年のHejhalのC∞-微分同相写像結果を、今やStokesデータを含む正則関数の設定に一般化したものである。

Figure 2: The surface $\mathbb{S}_{P}$ with marked points $\mathbb{M}_{P}$ .