[論文レビュー] Meshless physics-informed deep learning method for three-dimensional solid mechanics

Diab Abueidda, Qiyue Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用数 154

ひとこと要約

本稿では、データ生成やメッシュ生成を必要とせずに、固体力学における三次元偏微分方程式を解く、メッシュフリーな物理情報付きディープラーニング手法、すなわちディープコロケーション法（DCM）を提案する。強い形の偏微分方程式と境界条件をコロケーションにより満たすように深層ニューラルネットワークを訓練することで、線形弾性、超弾性、そして等方的および運動的硬化を伴う弾塑性の問題に対して、正確かつリアルタイムな解を得ることができる。

ABSTRACT

Deep learning and the collocation method are merged and used to solve partial differential equations describing structures' deformation. We have considered different types of materials: linear elasticity, hyperelasticity (neo-Hookean) with large deformation, and von Mises plasticity with isotropic and kinematic hardening. The performance of this deep collocation method (DCM) depends on the architecture of the neural network and the corresponding hyperparameters. The presented DCM is meshfree and avoids any spatial discretization, which is usually needed for the finite element method (FEM). We show that the DCM can capture the response qualitatively and quantitatively, without the need for any data generation using other numerical methods such as the FEM. Data generation usually is the main bottleneck in most data-driven models. The deep learning model is trained to learn the model's parameters yielding accurate approximate solutions. Once the model is properly trained, solutions can be obtained almost instantly at any point in the domain, given its spatial coordinates. Therefore, the deep collocation method is potentially a promising standalone technique to solve partial differential equations involved in the deformation of materials and structural systems as well as other physical phenomena.

研究の動機と目的

• 固体力学における偏微分方程式を解くための、有限要素法のメッシュフリーな代替手法を開発すること。
• FEMなどの従来の数値手法によるデータ生成の必要性を排除すること。これは、データ駆動モデルにおいてしばしばボトルネックとなる。
• 1つの訓練済み深層ニューラルネットワークを用いて、変位場および応力場の高速かつリアルタイムな推論を可能とすること。
• 大変形および硬化を伴う弾塑性を含む、複雑な材料挙動への物理情報付きディープラーニングの拡張。
• 3次元における多様な物性モデルに対して、ディープコロケーション法の実現可能性と正確性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、偏微分方程式の強い形における変位場を近似するために深層ニューラルネットワーク（DNN）を用いる。
• 損失関数は、強い形の偏微分方程式の残差、境界条件（必須および自然境界条件）から構築され、Adam や L-BFGS などの最適化手法を用いて最小化される。
• 自動微分を用いて変位場の勾配を計算し、ひずみ、応力、および内部変数の評価が可能になる。
• 本手法は、線形弾性、ネオ・フック型超弾性、および等方的および運動的硬化を伴うフォン・ミーゼスの塑性の3つの物性モデルに適用される。
• 経路依存性を持つ塑性問題のための疑似時間刻み込みスキームが用いられ、各ステップ間で状態変数が引き継がれる。
• コロケーション点のサンプリングはモンテカルロ法により実施され、それぞれ内部領域、変位境界、および荷重境界用の別個のセットが使用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理情報付きディープラーニング手法は、FEM やその他の数値手法によるデータ生成を必要とせずに、3次元固体力学問題を解くことができるか？
• RQ2 強い形の偏微分方程式と境界条件のみを用いて、深層ニューラルネットワークが線形弾性、超弾性、および弾塑性の問題をどれほど正確に近似できるか？
• RQ3 異なる材料モデル、特に複雑な硬化挙動を示すものに対しても、ディープコロケーション法は正確性と効率性を維持できるか？
• RQ4 サンプリング戦略および最適化手法は、3次元問題におけるDCMの収束性と正確性にどのように影響するか？
• RQ5 再訓練や再サンプリングなしに、再び変位や応力場を再計算する必要なく、経路依存性を持つ問題（例えば、弾塑性）を処理できるか？

主な発見

• DCMは、線形弾性、超弾性、弾塑性の3次元キャンチレバー梁問題において、FEMの解と定性的および定量的に一致する。
• C = 0.2 m の弾塑性ケースにおいて、DCMは垂直変位、von Mises応力、および塑性ひずみ成分をFEMの結果とよく一致して予測した。
• 訓練後は、空間上の任意の点に対して解の推論がほぼ即時に行える。再シミュレーションにかかる高コストを回避できる。
• 自動微分の使用により、メッシュベースの統合を必要とせず、勾配および応力場の正確な計算が可能になった。
• メッシュ生成や接線行列の構築を回避することで、FEMで一般的に見られる計算オーバーヘッドが削減された。
• 本研究では、物理情報付きディープラーニングが、データ駆動の事前学習を必要とせず、複雑な固体力学問題の単独ソルバーとして機能可能であることを示した。