[論文レビュー] Metaplectic Demazure operators and Whittaker functions

Gautam Chinta, Paul E. Gunnells+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$p$-進体上の再帰的群のメタプレクティック被覆における球面Whittaker関数の計算を可能にするために、メタプレクティックWeyl群作用を用いてDemazureおよびDemazure-Lusztig作用素の類似物を導入する。主な結果として、これらの作用素が先行研究の公式を回復し、$q$-変形を含む積公式とDemazure作用素を用いてWhittaker関数を表現できることを示す。

ABSTRACT

In a previous paper the first two named authors defined an action of a Weyl group on rational functions and used it to construct multiple Dirichlet series. These series are related to Whittaker functions on an n-fold metaplectic cover of a reductive group. In this paper, we define metaplectic analogues of the Demazure and Demazure-Lusztig operators. We show how these operators, together with results of McNamara, can be used to compute Whittaker functions on metaplectic groups over p-adic fields.

研究の動機と目的

• 再帰的群のメタプレクティック被覆におけるWhittaker関数のためのDemazureキャラクター公式のメタプレクティック類似物を構築すること。
• Weyl群多重Dirichlet級数およびクリスタル基底分解から生じる$p$-進Whittaker関数の既存の公式を統一・一般化すること。
• 幾何的表現論と類似する作用素を介して、メタプレクティックWhittaker関数と関係づけること。
• Chinta-GunnellsおよびMcNamaraの既知の結果を回復する計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 文献[CG10]で導入された、有理関数上でのメタプレクティックWeyl群作用を用いて、メタプレクティックDemazureおよびDemazure-Lusztig作用素を定義する。
• これらの作用素が、古典的対応物と同一のブレード関係および二次関係を満たすことを証明し、標準的な表現論的構造と整合性を保つ。
• 文字 $x^\nu$ 上のメタプレクティック作用を用いて、$\theta$ を正規化コウェイトとする単項式 $x^{w_0\theta}$ に作用する作用素を定義する。
• Demazureのキャラクター公式のメタプレクティック版（定理3）を導出し、最高重み単項式にDemazure作用素を作用させ、$q$-変形項の積としてキャラクターを表現する。
• Demazure-Lusztig作用素の補足的恒等式（定理4）を確立し、Weyl群上での和に符号と$q$-変形項を含む構造を示す。
• これらの結果とMcNamaraの公式（定理15）を組み合わせ、$\tilde{G}$ 上のWhittaker関数を、$q$-変形の積と $x^{w_0\theta}$ に作用するDemazure作用素の合成として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl群が有理関数に非自明に作用するメタプレクティック設定において、古典的Demazureキャラクター公式をどのように一般化できるか。
• RQ2 古典的ケースと同一の代数的関係を満たすように、メタプレクティックDemazureおよびDemazure-Lusztig作用素を定義できるか。
• RQ3 これらの作用素が、既知の$p$-進Whittaker関数の公式をどの程度回復または統合できるか。
• RQ4 文字上のメタプレクティック作用が、球面Whittaker関数の構造およびクリスタル基底による分解とどのように関係するか。

主な発見

• メタプレクティックDemazure作用素は、古典的Demazure作用素と同一のブレード関係および二次関係を満たし、代数的整合性が保証される。
• メタプレクティックDemazureキャラクター公式（定理3）は、キャラクターを $\prod_{\alpha\in\Phi^{+}}(1 - q^{-1}x^{m(\alpha)\alpha}) \mathcal{D}_{w_0}(x^{w_0\lambda})$ として表現し、古典的ケースを一般化する。
• Demazure-Lusztig作用素は和の公式 $\sum_{w\in W} \mathcal{T}_w(x^{w_0\lambda})$ を与え、メタプレクティック設定におけるWhittaker関数の構造と一致する。
• 正規化コウェイト $\varpi^\lambda$ におけるWhittaker関数は $\delta^{-1/2} \mathcal{W}_{\widetilde{\chi}}(\varpi^\lambda) = \prod_{\alpha\in\Phi^{+}}(1 - q^{-1}x^{m(\alpha)\alpha}) \mathcal{D}_{w_0}(x^{w_0\lambda})$ と与えられ、先行研究の結果を回復・統合する。
• このフレームワークにより、メタプレクティック被覆における球面Whittaker関数のMcNamaraの公式が回復され、$p$-進Whittaker関数がWeyl群多重Dirichlet級数の局所因子として現れることを示す。