[論文レビュー] Metaplectic Ice for Cartan Type C

Nathan Gray|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、カルタン型Cのための新しい可解格子模型「メタプレクティックアイス」を導入し、Uターンとドメインウォール境界条件を備えた六頂点模型を一般化する。ヤン＝バクスター方程式を用いて、分割関数 $ Z_\lambda $ の関数方程式を導出し、それらが $ SO(2r+1) $ の $ n $ 重被覆上のメタプレクティック・ホイットェイカー関数と同一の恒等式を満たすことを示し、$ Z_\lambda $ が型Cにおける球的ホイットェイカー関数である強力な証拠を提供する。

ABSTRACT

We use techniques from statistical mechanics to provide new formulas for Whittaker coefficients of metaplectic Eisenstein series on odd orthogonal groups, matching Friedberg and Zhang. We study a particular variation/generalization of the six-vertex model of Cartan type C having "domain-wall boundary conditions" dependent on a given integer partition $λ$ of length at most $r$, where $r$ is a fixed positive integer. More precisely, we examine a planar, non-nested, U-turn model whose partition functions $Z_λ$ are a generalization of a deformation of characters of the symplectic group $\operatorname{Sp}(2r, \mathbb{C})$. Special cases appeared in: Kuperberg; Hamel and King; Brubaker, Bump, Chinta, and Gunnells; Ivanov. Our main result is that these new families of "metaplectic" models are solvable---i.e., they possess Yang--Baxter equations. We use this to derive two types of functional equations involving $Z_λ$ corresponding to the two root lengths for simple reflections of the symplectic Weyl group. It is widely believed that the local component of metaplectic Eisenstein series is a metaplectic Whittaker function, though this is subtle owing to the lack of uniqueness of Whittaker models and only verified in type A by McNamara. Thus, we also give evidence for the conjecture that $Z_λ$ is a spherical Whittaker function by showing that $Z_λ$ satisfies the same identities under our solution to the Yang--Baxter equation as the metaplectic Whittaker function under intertwining operators on the unramified principal series of an $n$-fold metaplectic cover of $\operatorname{SO}(2r + 1)$, for $n$ odd.

研究の動機と目的

• シミプレクティック群の型Cにおける新しい完全可解格子模型「メタプレクティックアイス」の構成を目的とし、Uターンとドメインウォール境界条件を備えた六頂点模型を一般化する。
• ヤン＝バクスター方程式の解の存在を証明することで、この模型が可解であることを確立し、分割関数の正確な計算を可能にする。
• 分割関数 $ Z_\lambda $ が、相互作用作用素の下でメタプレクティック・ホイットェイカー関数と同様の関数方程式を満たすことを示す。
• 関数的恒等式の一致により、$ Z\_\lambda $ が奇数 $ n $ の $ SO(2r+1) $ の $ n $ 重メタプレクティック被覆上の球的ホイットェイカー関数であるという証拠を提供する。
• 文献に既存の長大なクリスタル基底の議論を、簡潔なヤン＝バクスターに基づく導出に置き換えることで、過去の証明の複雑さを低減する。

提案手法

• 長さが高々 $ r $ の整数分拆 $ \lambda $ で添字づけられる、平面的でネストのないUターン格子模型を定式化し、シミプレクティック群の特性をモデル化する。
• パrameter $ z_1, z_2, v, n $ と関数 $ g(a) $ を含むボルツマン重みを導入し、$ n $ 乗単位根と $ a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ を用いてメタプレクティック構造を組み込む。
• 32種の異なる頂点配置に対してヤン＝バクスター方程式を導出し、検証することで、模型の可解性を証明し、$ Z_\lambda $ の正確な計算を可能にする。
• ヤン＝バクスター方程式を用いて、シミプレクティックワイル群の二種類の根長に対応する $ Z_\lambda $ の二種類の関数方程式を導出する。
• 分割関数 $ Z_\lambda $ の関数方程式を、$ \widetilde{SO}(2r+1) $ の非分岐パラメトリック系列上のメタプレクティック・ホイットェイカー関数のものと比較し、完全に一致することを示す。
• 移行行列や相互作用作用素を含む、表現論と統計力学の代数的技法を用いて、対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルタン型Cにおけるメタプレクティック・ホイットェイカー関数に対して、既知の型Aの模型と同様の可解格子模型を構築できるか？
• RQ2 この新模型の分割関数 $ Z_\lambda $ は、相互作用作用素の下で、メタプレクティック・ホイットェイカー関数と同一の関数方程式を満たすか？
• RQ3 奇数 $ n $ の $ SO(2r+1) $ の $ n $ 重メタプレクティック被覆上での球的ホイットェイカー関数の直接的な統計力学的実現は可能か？
• RQ4 このUターン・ドメインウォール境界条件模型に対して、ヤン＝バクスター方程式を明示的に解けるか？ これにより可解性が保証されるか？
• RQ5 分割関数 $ Z_\lambda $ の関数的恒等式は、どの程度までメタプレクティック・ホイットェイカー関数のそれらに類似しており、それらの等価性を示唆するか？

主な発見

• 著者らは、Uターンとドメインウォール境界条件を備えた六頂点模型を一般化する、カルタン型Cのための新しい完全可解格子模型の族を構成した。
• 32種の異なる頂点配置に対してヤン＝バクスター方程式の解を明示的に構成し、模型の可解性を証明し、$ Z_\lambda $ の正確な計算を可能にした。
• 分割関数 $ Z_\lambda $ は、シミプレクティックワイル群の二種類の根長に対応する二種類の関数方程式を満たし、メタプレクティック・ホイットェイカー関数のそれらと類似した振る舞いを示した。
• $ Z_\lambda $ の関数方程式は、奇数 $ n $ の $ SO(2r+1) $ の $ n $ 重メタプレクティック被覆上の非分岐パラメトリック系列におけるメタプレクティック・ホイットェイカー関数のそれらと完全に一致し、$ Z_\lambda $ がそのようなホイットェイカー関数である強力な証拠を提供した。
• ヤン＝バクスターの解法により、文献に既存の証明（例：[11]）の長さを数十ページから約10ページに短縮した。クリスタル基底の議論を直接的な代数的計算に置き換えたことで達成された。
• この模型は、型Cにおけるメタプレクティック・ホイットェイカー関数の統計力学的実現を提供し、既知の型Aの対応関係を他の再帰的群へ拡張した。