[論文レビュー] Metric Approximations of Wreath Products

Ben Hayes, Andrew W. Sale|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、群 $H$ がsoficである場合、$G\wr H$ が $G$ が以下の4つのクラスのいずれかに属する限り、その度合近似性質（metric approximation property）を保つことを確立している。すなわち、$H$ がsoficで $G$ がsofic、hyperlinear、linear sofic、またはweakly soficのいずれかのクラスに属するならば、$G\wr H$ も同様の性質を有する。著者らはテンソル積と巡回分解解析を用いて、明示的な度合近似を構成し、既存のsofic wreath productに関する結果をより広いクラスの群へ一般化した。

ABSTRACT

Given the large class of groups already known to be sofic, there is seemingly a shortfall in results concerning their permanence properties. We address this problem for wreath products, and in particular investigate the behaviour of more general metric approximations of groups under wreath products. Our main result is the following. Suppose that $H$ is a sofic group and $G$ is a countable, discrete group. If $G$ is sofic, hyperlinear, weakly sofic, or linear sofic, then $G\wr H$ is also sofic, hyperlinear, weakly sofic, or linear sofic respectively. In each case we construct relevant metric approximations, extending a general construction of metric approximations for $G\wr H$ that uses soficity of $H$.

研究の動機と目的

• 度合近似に関する永続性（permanence）の性質が不足している問題に対処すること、特にwreath積に関して。
• 既知のsofic wreath productに関する結果を、hyperlinear、linear sofic、weakly soficな群のより広いクラスへ拡張すること。
• 群 $G$ がアメニタリティや残余有限性を満たさない場合でも、$H$ がsofic かつ $G$ が4つのクラスのいずれかに属するとき、$G\wr H$ の明示的度合近似を構成すること。
• 統一的かつ定量的な枠組みを用いて、度合近似性質がwreath積のもとで保たれることを証明すること。

提案手法

• 群 $G\wr H$ の度合近似の一般的構成法を開発し、$H$ のsofic性と集合上での置換作用の構造に依存する。
• 線形sofic性のため、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F})$ への準同型近似（almost homomorphisms）を用い、演算子のテンソル積の振る舞いを解析する。
• 主な技術的道具は、置換の巡回分解と核の次元解析に基づいて導出された、wreath積写像の像のランク距離の公式である。
• 写像 $\Psi(A,\tau) - \mathrm{Id}$ の核の分解を用い、$\tau$ の固定点と巡回に帰着させ、$\ell_{\mathrm{rk}}(\Psi(A,\tau))$ の下界を得る。
• 双対不変性と度合比較技法を用いて、近似的な乗法性と近似的な単射性を示す。
• 構成法を $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F})\wr_{B}\mathrm{Sym}(B)$ および $\mathrm{PGL}_n(\mathbb{K})\wr_{B}\mathrm{Sym}(B)$ に適用し、ランク距離に基づく長さ関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $H$ がsoficで $G$ がsoficであるとき、wreath積 $G\wr H$ はsofic性を保つか？
• RQ2 同様の条件下で、永続性の性質がhyperlinear、linear sofic、weakly soficな群へ拡張可能か？
• RQ3 群 $G$ がアメニタリティや残余有限性を満たさない場合でも、$G\wr H$ の度合近似を明示的に構成できるか？
• RQ4 巡回分解とテンソル積は、近似における度合制御を維持するために果たす役割は何か？
• RQ5 テンソル積におけるランク距離の振る舞いは、十分に安定しており、wreath積における線形sofic性を保つのに十分か？

主な発見

• 群 $H$ がsoficで $G$ がsoficであるならば、$G\wr H$ はsoficである。これは、アーベル群 $G$ に対してPaunescuの結果を一般化する。
• 群 $H$ がsoficで $G$ がhyperlinearであるならば、$G\wr H$ はhyperlinearである。これは、hyperlinear群のクラスを拡張する。
• 群 $H$ がsoficで $G$ がlinear soficであるならば、$G\wr H$ はlinear soficである。この証明は、テンソル積におけるランク距離制御に依存する。
• 群 $H$ がsoficで $G$ がweakly soficであるならば、$G\wr H$ はweakly soficである。これは、一般的な度合近似の構成による。
• 著者らは、$\ell_{\mathrm{rk}}(\Psi(A,\tau))$ の明確な公式を導出し、$\ell_{\mathrm{rk}}(\Psi(A,\tau)) \geq \frac{1}{2}\ell_{\mathrm{Hamm}}(\tau) + \frac{1}{|B|}\sum_{\tau(b)=b} \ell_{\mathrm{rk}}(\Phi(A_b))$ が成り立つことを示した。
• 構成法により、近似写像 $\Psi \circ \Theta$ が $(F, \varepsilon, d_{\mathrm{rk}})$-乗法的かつ $(F, c'/2, d_{\mathrm{rk}})$-単射的であることが保証され、望ましい度合近似性質が証明された。