[論文レビュー] Metric connections in projective differential geometry

Michael Eastwood, Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、与えられた射影的クラスに属するLevi-Civita接続を持つRiemann計量が、射影的に不変で有限型の線形PDE系の適切に正の解にちょうど一致することを確立している。この系を拡張することで、著者らはこれらの計量が、射影構造のCartan接続から導かれる接続を持つベクトルバンドルの共変定数切断に同値であることを示し、射影幾何における計量接続の幾何的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We search for Riemannian metrics whose Levi-Civita connection belongs to a given projective class. Following Sinjukov and Mikes, we show that such metrics correspond precisely to suitably positive solutions of a certain projectively invariant finite-type linear system of partial differential equations. Prolonging this system, we may reformulate these equations as defining covariant constant sections of a certain vector bundle with connection. This vector bundle and its connection are derived from the Cartan connection of the underlying projective structure.

研究の動機と目的

• 多様体上の射影構造が計量接続（Riemann計量からのLevi-Civita接続）をもつのはいつかを特定すること。
• このような計量を、線形で射影的に不変な偏微分方程式系を用いて特徴づけること。
• 計量接続の存在を、Cartan接続から導かれるベクトルバンドルの共変定数切断の存在に再定式化すること。
• 射影構造の「可動度」を理解するための幾何的および表現論的枠組みを提供すること。
• 曲率不変量とコhomological条件を通じて、計量接続の存在に対する障害を確立すること。

提案手法

• 問題を、与えられた射影的クラスに属する接続の測地線と一致するRiemann計量を見つける問題として定式化すること。
• 接続が射影的に同値である条件（1.1）を用い、1形式のずれによって射影的クラス内の接続を関連付けること。
• 射影的クラス内での計量接続を特徴づける線形PDE系（式2.3）を導入すること。
• 系を第一階の系に拡張し、ベクトルバンドル上の接続を定義し、解が共変定数切断に対応することを示すこと。
• Cartan接続から導かれるトランサクトバンドルとその接続を構成し、射影的不変性を保証すること。
• 特にWeylテンソルとRicciテンソルの曲率成分を分析し、平坦性および定曲率計量のための条件を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた多様体上の射影構造が計量接続をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 このような計量の存在を代数的および幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 Weyl曲率とRicciテンソルは、射影構造が計量接続を支持するかどうかを決定づける役割を果たすか？
• RQ4 解空間の次元である「可動度」は、射影構造の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 射影的に平坦な計量の文脈において、Weyl曲率の消滅が幾何的に何を意味するか？

主な発見

• 射影構造が計量接続をもつのは、射影的に不変で有限型の線形PDE系の適切に正の解が存在するとき、かつそのときに限る。
• 計量接続を記述する方程式系（2.3）は、Cartan接続から導かれる接続を持つベクトルバンドルの共変定数切断を定義するように拡張可能である。
• 射影構造の可動度（方程式（2.3）の解空間の次元）は、(n+1)(n+2)/2 で上限を持ち、等号が成り立つのは構造が平坦であるときのみである。
• n ≥ 3 のとき、射影的に平坦な計量は定曲率でなければならない。これはWeyl曲率の消滅と、Riemann曲率テンソルにおけるスカラー曲率の優位性によって示される。
• n = 2 のとき、テンソルYabc（Weyl曲率に類似）の消滅が射影的平坦性を特徴づけ、このような計量もまた定曲率である。
• R^nの原点近傍における一般の射影的に平坦計量の形は、g^{ab} = det(σ) σ^{ab} であり、ここでσ^{ab}はs^{ab}（正定値）＋x^a m^b ＋x^b m^a ＋x^a x^b r の形の2次形式である。