[論文レビュー] Metric Regularity. Theory and Applications - a survey

A. D. Ioffe|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 74被引用数 11

ひとこと要約

本調査は、変分解析の基盤をなすメトリック正則性理論について包括的な概説を提供する。理論的基盤と最適化・解析分野への応用に焦点を当て、正則性のメトリック基準、摂動に対する安定性を確立し、一般化方程式、誤差境界、微分包含への応用を実施する。主な結果として、リプシッツ連続および開性条件の下で、包含作用素のメトリック正則性を用いて微分包含の解の存在を示している。

ABSTRACT

Metric regularity has emerged during last 2-3 decades as one of the central concepts of variational analysis. The roots of this concept go back to a circle of fundamental regularity ideas of classical analysis embodied in such results as the implicit function theorem, Banach open mapping theorem, theorems of Lyusternik and Graves, on the one hand, and the Sard theorem and the Thom-Smale transversality theory, on the other. The three principal themes that are in the focus of attention are: (a) regularity criteria (containing quantitative estimates for rates of regularity) including formal comparisons of their relative power and precision; (b) stability problems relating to the effect of perturbations of the mapping on its regularity properties, on the one hand, and to solutions of equations, inclusions etc. on the other; (c) role of metric regularity in analysis and optimization. All of them are studied at three levels of generality: the general theory for (set-valued) mappings between metric spaces is followed by a detailed study of Banach and finite dimensional theories. There is a number of new results, both theoretical and relating to applications, and some known results are supplied with new, usually simpler, proofs.

研究の動機と目的

• 変分解析における中心的役割を果たすメトリック正則性理論の最新状態を体系化し、提示すること。
• 古典的解析の結果（例：陰関数定理）を、現代的な非滑らかで集合値な最適化設定に橋渡しすること。
• バナッハ空間および有限次元空間における、メトリック技法の強みを活かして証明を簡略化し、定量的推定を提供すること。
• 誤差境界、制約条件の質、最適制御といった最適化分野の主要概念とメトリック正則性の関係を確立すること。
• 統一的なメトリックフレームワークを通じて、解析および最適化分野の研究者にとって自立的かつアクセス可能な参考文献を提供すること。

提案手法

• 距離推定とメトリック空間およびバナッハ空間における開性基準を用いて、正則性のメトリック理論を構築する。
• 特に射影モジュラス $\mathrm{sur}_m$ を用いて、局所的および非局所的正則性（射影および開性モジュラス）を導入・分析する。
• リプシッツ摂動における安定性を分析するために、メトリック陰関数定理および強正則性を適用する。
• バナッハ空間における接続導関数、共微分、部分微分を用いて、原始的および双対的正則性推定を導出する。
• 包含作用素のメトリック正則性に帰着することで、一般化方程式および微分包含に理論を適用する。
• ミリュチン正則性条件およびハウスドルフ距離を用いて、リプシッツ連続および開性仮定の下で解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ連続なメトリック手法を用いて、古典的な正則性結果（例：陰関数定理）を非滑らかおよび集合値設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 バナッハ空間および有限次元空間における集合値写像のメトリック正則性の必要十分条件は何か？
• RQ3 最適化問題における誤差境界、安定性、部分正則性とメトリック正則性の関係は何か？
• RQ4 選択定理や反復法に依存せずに、微分包含の解の存在を証明するためにメトリック正則性はどのように機能するか？
• RQ5 無限次元設定において、古典的な変分解析手法に比べて、メトリック基準はより単純かつ明確な証明を可能にするか？

主な発見

• メトリック正則性理論は、古典的結果を一般化し、微分不能および集合値写像に適用可能な定量的・メトリックベースの枠組みを提供する。
• 摂動モジュラスが元の写像の射影モジュラス未満である限り、リプシッツ摂動におけるメトリック正則性の安定性が保証される。
• 微分包含のコーシー問題の解の存在は、包含作用素 $I - \mathcal{F}$ のメトリック正則性を用いて確立され、射影モジュラスの下界 $\mathrm{sur}_m(I - \mathcal{F}) \geq 1 - k_\tau$ が得られる。
• 任意の $\xi_\tau = \int_0^\tau d(\dot{x}_0(t), F(t,x_0(t)))dt < (1 - k_\tau)r$ を満たすとき、解 $x(\cdot)$ が $[0,\tau]$ 上に存在し、$\|x(\cdot)\|_\tau < \rho$ を満たす。ここで $k_\tau = \int_0^\tau k(t)dt$ である。
• 微分包含の解の存在証明は、反復的または選択に基づく手法を避けており、非局所的正則性理論に依存する。
• 特に無限次元設定において、古典的な部分微分または共微分に基づく手法に比べ、メトリック正則性技法はより単純かつ明確な証明をもたらすことが多い。