[論文レビュー] Metrics of positive scalar curvature and generalised Morse functions, part 1

Mark Walsh|ArXiv.org|Nov 8, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、次元が5以上の閉じた単連結多様体に対して、正スカラー曲率（psc）計量間のGromov-Lawson同調が、同調的であることを確立している。これは、高次元における同調が同相に帰着するかという長年の未解決問題の主要なケースを解消する。手術技法と一般化されたモース関数を用いて、制御された手術によって構築された同調から明示的な同相を構成し、多様体が単連結でかつ次元 ≥ 5 であるとき、そのような同調は同相的pcc計量から生じることを証明する。

ABSTRACT

It is well known that isotopic metrics of positive scalar curvature are concordant. Whether or not the converse holds is an open question, at least in dimensions greater than four. We show that for a particular type of concordance, constructed using the surgery techniques of Gromov and Lawson, this converse holds in the case of closed simply connected manifolds of dimension at least five.

研究の動機と目的

• 次元 ≥ 5 において、正スカラー曲率（psc）計量の同調が同相に帰着するかを特定すること。
• pcc計量空間におけるすべての同調が同相から生じるかどうかという未解決問題を、特に単連結多様体の場合に解消すること。
• 一般化されたモース関数を用いて、Gromov-Lawsonの手術技法を拡張し、同調から明示的な同相を構成すること。
• 閉じた単連結多様体で次元 ≥ 5 の場合、任意のGromov-Lawson型同調が標準的積計量に同相的であることを示すこと。
• 同調、同相、およびpcc計量空間の位相との関係を明確にすること、特にインデックスの障害が経路成分を検出できない場合に注目する。

提案手法

• 球面上での制御された手術を用いて、pcc計量間のコーボリズムをGromov-Lawsonの手術技法により構成する。
• 一般化されたモース関数を適用し、特に臨界点のペアのキャンセリングを含む手術プロセスをモデル化・解析する。
• 球面およびディスク上でのワーパード積計量と二重にワーパード積計量を用いて、手術変形中の曲率を制御する。
• ガウス曲率方程式とワーパードリーマン多様体における主曲率の計算を用いて、混合トーピット計量の曲率式を導出する。
• 正スカラー曲率を保ちつつ、1パrameter族を通じて計量を変形する連続的な湾曲化の議論を適用する。
• 2番目の手術球の埋め込みの標準化手順を用いて、同相構成との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 ≥ 5 の閉じた単連結多様体上のpcc計量間のGromov-Lawson同調は、すべてpcc計量の同相から生じるか？
• RQ2 GromovとLawsonの手術技法を用いて、同調から同相を明示的に構成できるか、それとも単にコーボリズムしか得られないか？
• RQ3 手術を用いて構築された同調が、積計量に同相的であるための条件は何か？
• RQ4 一般化されたモース関数は、手術によるpcc計量の同相類とどのように関係するか？
• RQ5 次元 ≥ 5 の単連結多様体上のpcc計量空間は、同調が同相に帰着する場合、経路連結的か？

主な発見

• 次元が5以上の閉じた単連結多様体に対して、任意のGromov-Lawson型同調は、標準的積計量に同相的である。
• 混合トーピット計量と適切なワーピング関数を用いた手術後、得られる計量のスカラー曲率は正のままである。
• 手術超曲面の主曲率が、sinθ/r および O(1) を含む項によって有界であることが示され、曲率の発散が制御される。
• ガウス曲率方程式を用いて、手術計量のスカラー曲率の明確な表現を導出し、支配的となる負の項がワーピングおよび曲率項の正の寄与によって相殺されることを示した。
• 正のスカラー曲率を保ちつつ、端部付近の積構造を維持する1パrameter族を通じて計量を変形する連続的な湾曲化の議論に依拠している。
• 最終的な結果として、単連結の場合、Gromov-Lawsonの手術法によって構築された同調であれば、同調が同相に帰着することを確立した。