[論文レビュー] Metrics of positive scalar curvature and unbounded widths

Rafael Montezuma|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全な2分木に基づくGromov-Lawson接続和構成を用いて、3次元球面にスカラー曲率 ≥6 で任意に大きな幅をもつリーマン計量の系列を構成する。木の2色塗り分けをスイープアウトにおける体積分布に関連付け、組合せ的評価および相対等周不等式を適用することで、幅が任意の上限を超えることを証明し、リッチ曲率の制御がない場合、スカラー曲率の剛性が成立しないことを示す。

ABSTRACT

In this work we construct a sequence of Riemannian metrics on the three-sphere with scalar curvature greater than or equal to $6$ and arbitrarily large widths. Our procedure is based on the connected sum construction of positive scalar curvature metrics due to Gromov and Lawson. We develop analogies between the area of boundaries of special open subsets in our three-manifolds and $2$-colorings of associated full binary trees. Then, via combinatorial arguments and using the relative isoperimetric inequality, we argue that the widths converge to infinity.

研究の動機と目的

• スカラー曲率 ≥6 に対して幅の剛性がリッチ曲率の仮定なしに成立しないことを示すこと。
• S³ 上にスカラー曲率 ≥6 で任意に大きな幅をもつ明示的なリーマン計量を構成すること。
• 3次元多様体における幾何学的幅と完全2分木の組合せ的性質との間の関係を確立すること。
• 相対等周不等式と2色塗り分けの議論を用いて、幅の下界を導出すること。
• このような計量の等周プロファイルが一様に有界でないことを示すこと。

提案手法

• 完全2分木構造に基づき、球面領域（1〜3個の測地的球体を除去）と固定されたチューブを用いたGromov-Lawson接続和によりS³ 上の計量を構成する。
• 各球面領域内のスイープアウト断片の体積分布に基づき、木のノードに2色塗り分け（黒/白）を割り当てる。
• 大きな木において線形個の隣接する異色ノード対が存在することを保証する組合せ的結果（補題2.5）を適用する。
• 境界をもつコンact 3次元多様体に対して相対等周不等式を適用し、境界の面積を下から抑え込む。
• 等周プロファイルの一様有界性を仮定することで矛盾を導出し、黒ノードの数に一様上界が存在することを示す。
• S³ を 2^{m+1}-1 個の領域に分解する際の体積バランスと面積推定を組み合わせ、幅が無限大に発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S³ 上のリーマン計量でスカラー曲率 ≥6 であるものが、任意に大きな幅をもつことは可能か？
• RQ2 リッチ曲率の制御がない場合、スカラー曲率 ≥6 のもとで幅の剛性結果 W ≤ 4π は成立しないか？
• RQ3 完全2分木の組合せ的性質を用いて、3次元多様体におけるスイープアウト断片の面積を評価できるか？
• RQ4 このような計量の等周プロファイルは一様に有界か？
• RQ5 木の2色塗り分けと接続和計量における幾何的面積最小化の関係は何か？

主な発見

• 任意の m > 0 に対して、S³ 上にスカラー曲率 R ≥ 6 かつ幅 W(S³, g) ≥ m であるリーマン計量 g が存在する。
• 構成された計量のリーマン曲率テンソルは一様に有界のままである。
• 木に基づく分解における多数の隣接する異色ノード対の存在が、幅が無限大に発散する原因となる。
• 計量 g_m の等周プロファイルは一様に有界でないため、与えられた体積に対する面積の普遍的下界は存在しない。
• 構成されたスイープアウトにおいて、チューブ内の最小面積断片が総幅に顕著に寄与する。
• 証明における矛盾は、等周プロファイルの一様有界性を仮定したことによるものであり、これは大きな木における任意に多くの色変化を伴う隣接ノード対の存在と矛盾する。