[論文レビュー] Metrics of Special Curvature with Symmetry

Brandon Dammerman|ArXiv.org|Oct 24, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特異な曲率—特にアインシュタイン曲率および一定スカラー曲率—を、対称性を持つ多様体上に考察し、共調和性1次およびトーリック構造に焦点を当てる。スカラー曲率方程式を、計量関数と曲率成分を含む閉形式の表現に統合するための必要十分条件 ∑dⱼμⱼ = 0 を確立し、対称性の制約下でこのような計量の明示的構成を可能にする。

ABSTRACT

Various curvature conditions are studied on metrics admitting a symmetry group. We begin by examining a method of diagonalizing cohomogeneity-one Einstein manifolds and determine when this method can and cannot be used. Examples, including the well-known Stenzel metrics, are discussed. Next, we present a simplification of the Einstein condition on a compact four manifold with $T^{2}$-isometry to a system of second-order elliptic equations in two-variables with well-defined boundary conditions. We then study the Einstein and extremal Kahler conditions on Kahler toric manifolds. After constructing explicitly new extremal Kahler and constant scalar curvature metrics, we demonstrate how these metrics can be obtained by continuously deforming the Fubini-Study metric on complex projective space in dimension three. We also define a generalization of Kahler toric manifolds, which we call fiberwise Kahler toric manifolds, and construct new explicit extremal Kahler and constant scalar curvature metrics on both compact and non-compact manifolds in all even dimensions. We also calculate the Futaki invariant on manifolds of this type. After describing an Hermitian non-Kahler analogue to fiberwise Kahler toric geometry, we construct constant scalar curvature Hermitian metrics with $J$-invariant Riemannian tensor. In dimension four, we write down explicitly new constant scalar curvature Hermitian metrics with $J$-invariant Ricci tensor. Finally, we integrate the scalar curvature equation on a large class of cohomogeneity-one metrics.

研究の動機と目的

• 共調和性1次多様体上のスカラー曲率方程式が、閉形式の解に統合可能となる条件を特定すること。
• 特定のほぼ複素構造の下でリッチテンソルが不変となる条件を特徴づけ、明示的計量構成を可能にすること。
• ケーラー・トーリック幾何をファイバーewise ケーラー・トーリック多様体へ一般化し、すべての偶数次元で新たな極値および一定スカラー曲率計量を構成すること。
• ヘルミートでないケーラーでない計量の枠組みを、J-不変なリッチテンソルを持つものに拡張し、次元4で新たな明示的例を生成すること。
• 対称性削減とリーマン的準同型形式論を用いた、曲率方程式を統一的に解くアプローチを提供すること。

提案手法

• リーマン的準同型理論とオニェの形式論を用いて、対称多様体上の曲率成分を分解する。
• 共調和性1次構造を適用し、アインシュタインおよびスカラー曲率方程式を1変数の常微分方程式系に削減する。
• 条件 ∑dⱼμⱼ = 0 が、スカラー曲率方程式に対する閉形式解の存在と同値であることを導出する。
• ∂/∂x と X₀ によって定義される写像 ŴJ を導入し、ほぼ複素構造下でのリッチテンソルの不変性を分析する。
• 導出された条件下で、統合されたスカラー曲率方程式 (11.7) を解くことにより明示的計量を構成する。
• カルラ・クライン bundle 構成と対称性削減を適用し、ケーラー・トーリック幾何をファイバーewise ケーラー・トーリック多様体へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共調和性1次多様体上のスカラー曲率方程式が、どのような条件下で閉形式の表現に統合可能か。
• RQ2 スカラー曲率方程式が、計量と対称性構造によって定義される写像 ŴJ の作用の下でリッチテンソルが不変となる条件は何か。
• RQ3 一般化されたケーラー・トーリック多様体上での極値ケーラーおよび一定スカラー曲率計量をどのように明示的に構成できるか。
• RQ4 ファイバーewise ケーラー・トーリック多様体上での一定スカラー曲率計量を特徴づけるために、フタキ不変量は果たす役割は何か。
• RQ5 J-不変なリッチテンソルを持つヘルミートでないケーラーでない計量を明示的に構成可能か。また、それらの曲率的性質は何か。

主な発見

• スカラー曲率方程式は、かつて ∑dⱼμⱼ = 0 が成り立つ場合に限り、閉形式表現 (11.7) に統合可能であり、ここで μⱼ = 2Aⱼ′′/Aⱼ − (Aⱼ′/Aⱼ)² + bⱼ²/Aⱼ² である。
• 条件 ∑dⱼμⱼ = 0 は、分布 ⟨∂/∂x⟩ ⊕ 𝔪₀ 上での写像 ŴJ の作用の下でリッチテンソルが不変であることと同値である。
• J-不変なリッチテンソルを持つ、明示的一定スカラー曲率計量が ℂP¹×ℂP¹ および ℂP²♯ℂP²̄ 上に構成された。
• Fubini-Study計量の変形によって得られる、ℙ(𝒪⊕𝒪(1,−1)) 上の新たな極値ケーラーおよび一定スカラー曲率計量が、明示的に構成された。
• ケーラー・トーリック多様体の一般化として、ファイバーewise ケーラー・トーリック多様体が導入され、すべての偶数次元で明示的解が得られる。
• 一般化されたファイバーewise ケーラー・トーリック多様体に対してフタキ不変量が計算され、一定スカラー曲率計量の存在に対する障害を提供した。