[論文レビュー] Metrics on Spaces of Surfaces where Horizontality equals Normality

Martin Bauer, Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、形状空間への射影に関して水平束が、埋め込み空間の埋め込みに沿った法束と一致する、再パrametrization不変なソボレフ型計量について特徴づける。水平分解と法分解が一致する計量を特定することで、形状空間上の測地線計算が簡略化され、特に平面曲線の場合、より高い計量正則性が計量完備化における曲線の滑らかさを制御することを示している。

ABSTRACT

In this article, we study metrics on shape space of surfaces that have a particularly simple horizontal bundle. More specifically, we consider reparametrization invariant Sobolev type metrics $G$ on the space $\operatorname{Imm}(M,N)$ of immersions of a compact manifold $M$ in a Riemannian manifold $(N,\overline{g})$. The tangent space $T_f\operatorname{Imm}(M,N)$ at each immersion $f$ has two natural splittings: one into components that are tangential/normal to the surface $f$ (with respect to $\overline{g}$) and another one into vertical/horizontal components (with respect to the projection onto the shape space $B_i(M,N)=\operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M)$ of unparametrized immersions and with respect to the metric $G$). The first splitting can be easily calculated numerically, while the second splitting is important because it mirrors the geometry of shape space and geodesics thereon. Motivated by facilitating the numerical calculation of geodesics on shape space, we characterise all metrics $G$ such that the two splittings coincide. In the special case of planar curves, we show that the regularity of curves in the metric completion can be controlled by choosing a strong enough metric within this class.

研究の動機と目的

• 再パラメータリゼーション不変なソボレフ型計量 $ G $ を、その形状空間商 $ \operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M) $ に関する水平束が、埋め込み $ f $ における埋め込み空間 $ N $ における法束と一致するようなものとして同定すること。
• 水平分解と法分解が一致することを活用して、形状空間上の測地線の数値的計算を簡略化すること。
• このような計量のもとで、平面曲線の形状空間の計量完備化における曲線の正則性を分析すること。
• 内在的形状空間幾何と埋め込み空間のリーマン構造を整合させる幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 研究は、コンパクト多様体 $ M $ をリーマン多様体 $ (N,\overline{g}) $ に埋め込む写像の空間 $ \operatorname{Imm}(M,N) $ を、基本的な配置空間として用いる。
• 再パラメータリゼーション不変なソボレフ型計量 $ G $ を、埋め込みに沿ったベクトル場上の内積によって定義する。
• 各埋め込み $ f $ における接空間は、$ f $ の像に沿った接方向／法方向への分解と、形状空間商 $ \operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M) $ に関する垂直方向／水平方向への分解に分けられる。
• 主な条件は、計量 $ G $ によって誘導される水平分布が、$ N $ 内の $ f $ の法バンドルと一致することであり、これにより幾何的構造が単純化される。
• 平面曲線の場合、計量完備化を分析し、$ G $ のソボレフ正則性を高めることで、完備化における曲線の正則性が制御されることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再パラメータリゼーション不変なソボレフ型計量 $ G $ は、どのようないくつかの埋め込み空間において、形状空間商に関する水平束が、埋め込み曲面の埋め込み空間 $ N $ 内の法束と一致するか？
• RQ2 水平分解と法分解が一致することで、形状空間上の測地線の計算はどのように簡略化されるか？
• RQ3 計量 $ G $ の正則性と、平面埋め込みの形状空間の計量完備化における曲線の正則性の関係は何か？
• RQ4 水平方向と法方向が一致する計量を選べば、形状空間の幾何的構造を簡略化できるか？

主な発見

• 本稿は、形状空間商に関する水平束が、埋め込み空間 $ N $ 内の法バンドルと一致する再パラメータリゼーション不変なソボレフ型計量 $ G $ を完全に特徴づけた。
• このような計量では、各埋め込みにおける接空間の水平分解と法分解が同一であり、幾何的および計算的構造が著しく単純化される。
• 平面曲線の場合、形状空間の計量完備化には、ソボレフ計量の次数によって決定される正則性の曲線のみが含まれる。高次の計量では、より滑らかな曲線が得られる。
• 水平成分と法成分の一致により、形状空間上の測地線の数値的計算がより効率的に行えるようになる。水平射影が法射影に簡略化されるためである。