[論文レビュー] Microlocal branes are constructible sheaves

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、コンpactな実解析的多様体 $X$ 上の可解層のdg圏とその余接 bundle $T^*X$ の Fukaya 圏の三角圏化の間で準同型を確立し、微局所 brane（$T^*X$ 内のラグランジュ brane）が可解層と圏的に同値であることを証明する。主な結果は、微局所化関手 $\mu_X$ が全単射的埋め込みであるだけでなく、本質的に全射でもあること、すなわち2つの構造が圏的に同一視され、特徴的サイクル同型が導来圏レベルにまで拡張されることである。

ABSTRACT

Let $X$ be a real analytic manifold, and let $T^*X$ be its cotangent bundle. In a recent paper with E. Zaslow \cite{NZ}, we showed that the dg category $Sh_c(X)$ of constructible sheaves on $X$ quasi-embeds into the triangulated envelope $F(T^*X)$ of the Fukaya category of $T^*X$. We prove here that the quasi-embedding is in fact a quasi-equivalence. When $X$ is complex, one may interpret this as a topological analogue of the identification of Lagrangian branes in $T^*X$ and holonomic $D_X$-modules developed by Kapustin and Kapustin-Witten from a physical perspective. As a concrete application, we show that compact connected exact Lagrangians in $T^*X$ (with some modest homological assumptions) are equivalent in the Fukaya category to the zero section. In particular, this determines their (complex) cohomology ring and homology class in $T^*X$, and provides a homological bound on their number of intersection points. An independent characterization of compact branes in $T^*X$ has recently been obtained by Fukaya-Seidel-Smith.

研究の動機と目的

• コンパクトな実解析的多様体 $X$ 上の可解層のdg圏と $T^*X$ の Fukaya 圏の三角圏化の間の準同型を確立すること。
• 微局所化関手 $\mu_X$ を全単射的埋め込みから準同型に拡張し、可解層と微局所 brane を圏的に同一視すること。
• コンパクトで正確なラグランジュ部分多様体のホモロジー的特徴づけを提供し、弱いホモロジー的仮定のもとでそれらが Fukaya 圏においてゼロ切断と同値であることを示すこと。
• $A_\infty$-計算が、適切な almost complex 構造の選択に依存せず、taming パーティクルの摂動に対しても不変であることを示すこと。

提案手法

• 可解層のdg圏を $T^*X$ の Fukaya 圏の三角圏化に埋め込む $A_\infty$-関手 $\mu_X: Sh_c(X) \to F(T^*X)$ を構成する。
• 誘導されたコホロロジー関手 $H(\mu_X): D_c(X) \to DF(T^*X)$ が、全単射的であるだけでなく、本質的に全射であることを証明し、準同型を確立する。
• 非特徴的同倫と継続写像を用いて、Floer的計算と層的構成（特に対角 brane と積 brane を通して）を関連付ける。
• $J$-正則ディスクの事前直径境界を用いて、$J$-可換 almost complex 構造の変更に対する $A_\infty$-作用の不変性を、ホモトピー的議論により示す。
• 摂動の間を滑らかに接続する $[0,1]$-族の almost complex 構造を構成することで、braner 構造における taming パーティクルが $A_\infty$-作用に影響しないことを示す。
• 擬正則多角形のモジュライ空間のコンパクト性と強さの条件を用いて、有限に決定され、不変な計算が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微局所化関手 $\mu_X$ は $Sh_c(X)$ と $F(T^*X)$ の間に準同型を定めるのか、それとも単なる全単射的埋め込みにとどまるのか？
• RQ2 可解関数と錐型ラグランジュサイクルの間の特徴的サイクル同型は、導来的・圏的同値にまで引き上げられるか？
• RQ3 コンパクトで連結で正確なラグランジュ部分多様体 $T^*X$ は、標準的なホモロジー的仮定のもとで Fukaya 圏においてゼロ切断と同値か？
• RQ4 $T^*X$ の Fukaya 圏の $A_\infty$-構造は、適切な almost complex 構造の変更や taming パーティクル摂動に対して不変か？
• RQ5 Fukaya 圏の三角圏化は、微局所化によって可解層によって完全に記述可能か？

主な発見

• 微局所化関手 $\mu_X$ は、可解層のdg圏 $Sh_c(X)$ と $T^*X$ の Fukaya 圏の三角圏化 $F(T^*X)$ の間に準同型を誘導し、微局所 brane が可解層と圏的に同値であることを証明する。
• コホロロジーレベルの関手 $H(\mu_X): D_c(X) \to DF(T^*X)$ は、単なる全単射的ではなく、三角圏の同値である。
• コンパクトで連結で正確なラグランジュ部分多様体 $T^*X$ は $DF(T^*X)$ 内でゼロ切断と同型であり、同じコホロロジー環とホモロジー類を持つことを示唆する。
• $A_\infty$-作用は、適切な almost complex 構造の変更や taming パーティクル摂動に対して不変であり、構成が適切に定義され、安定していることを保証する。
• 特徴的サイクル準同型 $CC$ は、Grothendieck 群 $K_0$ と微局所化関手との間に可換図式を形成し、古典的結果と整合性があることを確認する。
• 三角圏化 $F(T^*X)$ は $\mu_X$ の像によって生成されるため、$DF(T^*X)$ のすべての対象は微局所化によって可解層から得られる。