[論文レビュー] Mild and classical solutions for fractional evolution differential equation

J. Vanterler da C. Sousa, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間におけるヒルファ微分を含む分数階進化微分方程式に対して、弱解および古典解の存在と一意性を確立する。バナッハの収縮写像定理、グロウォールの不等式、および$(\alpha,\beta)$-回帰作用素関数を用いて、適切な条件下で一意解が存在し、初期データに連続的に依存することを証明する。

ABSTRACT

Investigating the existence, uniqueness, stability, continuous dependence of data among other properties of solutions of fractional differential equations, has been the object of study by an important range of researchers in the scientific community, especially in fractional calculus. And over the years, these properties have been investigated more vehemently, as they enable more general and new results. In this paper, we investigate the existence and uniqueness of a class of mild and classical solutions of the fractional evolution differential equation in the Banach space $Ω$. To obtain such results, we use fundamental tools, namely: Banach contraction theorem, Gronwall inequality and the $β$-times integrated $β$-times integrated $α$-resolvent operator function of an $(α,β)$-resolvent operator function.

研究の動機と目的

• ヒルファ微分を含む分数階進化微分方程式の弱解および古典解の存在と一意性を調査すること。
• リーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分を統合するより一般的なヒルファ微分を組み込むことにより、既存の分数階微分方程式の結果を拡張すること。
• 関数解析的ツールを用いて、初期データおよび系のパラメータにたいする解の連続的依存性を確立すること。
• ヒルファ分数階進化方程式の文脈において、$\beta$-回帰$\alpha$-回帰作用素関数を用いて定義される新しい種類の解を導入すること。
• 非局所的条件および分散遅れを伴う分数階進化方程式を研究するための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 完備な距離空間における連続関数の空間で、バナッハの収縮写像定理を用いて弱解の存在と一意性を証明する。
• 一般化されたグロウォールの不等式を適用して、$C_{1-\gamma}$-空間における解の連続性および安定性の性質を確立する。
• $(\alpha,\beta)$-回帰作用素に関連する$\beta$-回帰$\alpha$-回帰作用素関数を用いて、弱解を定義する。
• $0 < \alpha \leq 1$および$0 \leq \beta \leq 1$を満たすヒルファ分数階微分$^H\!\mathbb{D}_{t_0^+}^{\alpha,\beta}$を用いる。これはリーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分を一般化する。
• リーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分を一般化する。
• リーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間におけるヒルファ微分を含む分数階進化方程式に対して、弱解が存在する条件は何か？
• RQ2 非局所的初期条件および分散遅れのもとで、弱解の一意性はどのように確立できるか？
• RQ3 ヒルファ型分数階進化方程式の文脈において、弱解と古典解の関係は何か？
• RQ4 $\beta$-回帰$\alpha$-回帰作用素関数は、方程式の解構造にどのように寄与するか？
• RQ5 一般化されたグロウォールの不等式は、初期データおよび系のパラメータに依存する解の連続的依存性を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形項のリプシッツ連続性および回帰作用素の有界性を仮定すれば、バナッハの収縮写像定理に基づき、弱解の存在と一意性が確立される。
• 古典解が弱解と一致することが示され、弱解が物理的・工学的応用の強力な候補であることが裏付けられる。
• グロウォールの不等式および$C_{1-\gamma}$-空間における回帰作用素の有界性を用いて、初期データにたいする解の連続的依存性が示された。
• 非局所的条件を満たす初期条件$ I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_0^+) + \sum_{k=1}^p C_k I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_k) = u_0 $が解に満たされることを確認し、一貫性が保証された。
• 時間に関する解の連続性は、推定式$\|u(t+h) - u(t)\|_{C_{1-\gamma}} \leq \widetilde{\delta}h \mathbb{E}_\alpha[MC(1+rk)\Gamma(\alpha)a^\alpha] $を用いて証明され、ここで$\mathbb{E}_\alpha$はミタグ・レフラー関数である。
• 証明により、弱解$u(t)$が元の式(1.1)–(1.2)を満たすことが確認され、与えられた仮定のもとで古典解として正当化された。