[論文レビュー] Mimetic Explicit Time Discretiztions

Stanly Steinberg|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、波動方程式を解くために、ステaggered空間および明示的時間離散化を組み合わせたミメティック有限差分法を提示する。この手法は、時間ステップ制約下で2次精度、エネルギー保存、無条件安定性を達成する。離散エネルギー関数を構築することで、連続系の構造を模倣し、発散なしの場やエネルギー的不変量といった主要な連続体的性質を保存する。1次元、2次元、3次元のスカラー波動方程式およびマクスウェル方程式に対して検証され、機械精度まで正確に保存されることが確認された。

ABSTRACT

This paper is part of a program to combine a staggered time and staggered spatial discretization of continuum mechanics problems so that any property of the continuum that is proved using vector calculus can be proven in an analogous way for the discretized system. We require that the discretizations be second order accurate and have a conserved quantity that approximates the energy for the system and guarantees stability for a reasonable constraint on the time step. We also require that the discretization is time explicit so as to avoid the solution of large system of possibly nonlinear algebraic equations. The well known Yee grid discretization of Maxwell's equations is the same as our discretization and is an early example of using a staggered space and time grid . To motivate our discussion we begin by studying the staggered time or leapfrog discretization of the harmonic oscillator and use this to introduce the modification of the energy that is conserved. Next we use systems of linear equations to motivate the definition of the modified energy for more complex systems of ordinary differential equations and then apply our ideas to the scalar wave equation in one spatial dimension. We finish by discretizing the three dimensional scalar wave and Maxwell's equations. Because the spatial discretization is mimetic, we obtain that the divergence of the electric and magnetic fields are constant when there are no sources. Using the mimetic properties the proof of this trivial and is essentially the same as in the continuum.

研究の動機と目的

• 波動方程式に対して、時間明示的かつ2次精度の有限差分スキームを構築し、エネルギー保存や発散なしの場といった基本的な連続体的性質を保存すること。
• 連続エネルギーを近似する離散エネルギー関数を構築し、時間発展においても保存量として維持することで、数値的安定性を保証すること。
• 従来、楕円型および放物型問題に用いられてきたミメティック空間離散化を、ステaggered空間時間グリッドを用いて双曲型波動系へと拡張すること。
• ミメティック空間作用素とループフロッグ時間ステッピングを組み合わせることで、不均一で異方性な材料の安定シミュレーションを可能にすること。
• 図式追跡および離散スター作用素を用いて、連続体が持つ代数的構造（正確な列構造や随伴関係）が離散系にどのように引き継がれるかを示すこと。

提案手法

• 2次波動方程式から導出された1次系に対して、ステaggered時間（ループフロッグ）離散化を用い、2次精度と明示的時間ステッピングを達成すること。
• 連続エネルギーに類似した保存量として機能する修正された離散エネルギー関数を構築し、十分に小さな時間ステップでは正値を保つこと。
• 1つのグリッドの節点が他方のグリッドのセル中心と一致する2つの双対グリッド（原始グリッドと双対グリッド）を用い、勾配、回転、発散に対するミメティック空間作用素を実現すること。
• 原始グリッドと双対グリッドの間を移動する離散スター作用素（乗算作用素）を定義し、双対性を保持するとともに、一貫した内積を可能にすること。
• 離散完全列を適用し、ミメティック性（例：div(curl) = 0 および作用素の整合性）が離散レベルでも保たれることを保証すること。
• 混合（ロビン型）境界条件を用いて境界条件を実装し、コーナー点の値を一貫して処理することで、プログラミング上の不整合を回避すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動方程式に対して、連続エネルギーに類似した離散エネルギー関数を保存する時間明示的2次精度有限差分スキームを構築可能か？
• RQ2 従来、楕円型および放物型問題に用いられてきたミメティック空間離散化を、双曲型波動系へと拡張する方法は何か？ その際、主要な連続体的性質をどのように保存できるか？
• RQ3 ステaggeredグリッド上での波動方程式に対して、時間の2次精度と安定性を保証する離散エネルギー関数の構造はどのようなものか？
• RQ4 勾配、発散、回転といった離散微分作用素およびその随伴作用素は、ミメティック離散化下でどのように振る舞い、どのような代数的性質を保存するか？
• RQ5 この手法は不均一で異方性な材料へとどのように一般化可能か？ その反映は離散作用素およびエネルギー関数にどのように現れるか？

主な発見

• 数値実験において、離散エネルギー関数は10^15分の1以上で保存され、実際には正確な保存が確認された。
• 2次元スカラー波動方程式において、時間および空間の両方で2次精度を達成し、一部のケースではパrameterを調整することで4次精度または正確解が得られた。
• ミメティック空間離散化により、源がない状況下で電場および磁場の発散がゼロのまま保たれ、連続体と同様の性質を示した。
• 離散系は連続体の正確な列構造を引き継ぎ、図式追跡および適切なスター作用素定義により、離散作用素が同じ代数的恒等式（例：div(curl) = 0）を満たした。
• 双対グリッドおよび離散スター作用素の使用により、波動方程式における異方性および不均一な材料特性が一貫して扱えるようになった。
• 境界条件は混合（ロビン型）形式で実装され、コーナー点の値が明示的時間ステッピングスキームに影響を与えないように処理された。