[論文レビュー] Mimetic spectral element method for Hamiltonian systems

Artur Palha, Marc Gerritsma|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 66被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、異なる離散的Hodge-⋆作用素を選択することで任意の次数の時間積分法を構築する、ハミルトニアン系のためのミメティックスペクトル有限要素法を提案する。標準的なHodge-⋆を選べばシンプレクティック積分法が得られ、ガラーキンHodge-⋆を選べばエネルギーを正確に保存する積分法が得られ、両者とも長時間シミュレーションにおいてエネルギー誤差が有界またはゼロのまま、重要な幾何的不変量を保存する。

ABSTRACT

There is a growing interest in the conservation of invariants when numerically solving a system of ordinary differential equations. Methods that exactly preserve these quantities in time are known as geometric integrators. In this paper we apply the recently developed mimetic framework to the solution of a system of first order ordinary differential equations. Depending on the discrete Hodge-* employed, two classes of arbitrary order time integrators are derived. It is shown that the one based on a canonical Hodge-* results in a symplectic integrator, whereas the one based on a Galerkin Hodge-* results in an energy preserving integrator. A set of numerical tests confirms these theoretical results.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン系のための高次時間積分法を構築し、シンプレクティック構造やエネルギーといった幾何的不変量を保存すること。
• 微分幾何学および代数的トポロジーに根ざしたミメティックフレームワークを常微分方程式に適用し、離散レベルで正確な位相的関係を保証すること。
• 異なる離散的Hodge-⋆作用素の表現が、異なる保存性特性を示す積分法をもたらす仕組みを解明すること。
• Hodge-⋆の選択が、積分法がシンプレクティックかエネルギー保存的かを決定することを示し、最小限の切断誤差で実現できることを示すこと。
• 調和振動子およびケプラーモデルの数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、位相的構造（離散レベルで正確）と計量依存作用素（例：Hodge-⋆）を分離するミメティックフレームワークを採用し、柔軟な離散化を可能にする。
• 2種類の異なる離散的Hodge-⋆作用素を定義する：1つは標準的（シンプレクティック積分法へ導く）、もう1つはガラーキンに基づく（エネルギー保存的積分法へ導く）。
• 時間方向にスペクトル有限要素コロケーションを用い、高次多項式近似により任意の次数の精度を達成する時間積分法を導出する。
• 連続的ハミルトニアン系を離散化する際、選択されたHodge-⋆表現によりシンプレクティック形式とエネルギーが保存されるようにする。
• 射影作用素により、連続的な微分幾何的定式化と離散的な代数的トポロジー定式化を結びつけ、一貫性を保証する。
• 系をハミルトニアン形式に再定式化し、シンプレクティック行列Jを用いて位相空間内の1階常微分方程式に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミメティックフレームワークを、幾何的および物理的不変量を正確に保存する高次時間積分法の構築に拡張可能か？
• RQ2 離散的Hodge-⋆作用素の選択が、得られる積分法がシンプレクティックかエネルギー保存的かを決定づけるか？
• RQ3 ミメティックスペクトル有限要素法は、正確なエネルギー保存が不可能な場合でも、長時間積分においてエネルギー誤差が有界に保たれるか？
• RQ4 ミメティック積分法の収束速度は、ルンゲ＝クッタ法やオイラー法といった古典的手法と比べてどうか？
• RQ5 ミメティック手法は、偏微分方程式の空間時間統合的離散化を統一的に実現できるか？

主な発見

• 標準的Hodge-⋆に基づくミメティックカノニカル積分法は、シンプレクティック構造を保存し、長時間シミュレーションにおいてエネルギー誤差が有界に保たれるシンプレクティック積分法を生成する。
• ガラーキンHodge-⋆に基づくミメティックガラーキン積分法は、調和振動子以外の非二次ハミルトニアン（例：ケプラーモデル）に対しても、機械精度までエネルギーを正確に保存する。
• 調和振動子に対する数値実験では、ミメティックガラーキン積分法がエネルギーを一定に保ち、前進オイラー法やルンゲ＝クッタ法はエネルギー誤差が増大することが確認された。
• ケプラーモデルの2体問題において、ミメティックガラーキン積分法は時間経過に伴いハミルトニアンに誤差ゼロを示したのに対し、ミメティックカノニカル積分法は正確なエネルギー保存を達成できなかったが、エネルギー誤差は有界に保たれた。
• ミメティックカノニカル積分法は時間方向に4次収束を示したのに対し、ルンゲ＝クッタ法は5次収束を示し、高次精度が裏付けられた。
• シンプレクティックオイラー法もエネルギー誤差を有界に保つが、ミメティックガラーキン積分法は正確なエネルギー保存を達成する点で優れている。