[論文レビュー] Min-Max Graph Partitioning and Small Set Expansion

Nikhil Bansal, Uriel Feige+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、頂点を $k$ 個のほぼ等しい部分に分割し、どの部分からも最大のカットサイズを最小化する、min-max グラフ分割問題に対する $O(\sqrt{\log n \log k})$-近似アルゴリズムを提示する。この手法は、小集合拡張（SSE）問題に対する新しいバイクリテリア近似を活用し、一般グラフでは $O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$ の近似を達成し、固定のマイナーを含まないグラフでは $O(1)$ を達成する。これは従来の境界を大幅に改善する。

ABSTRACT

We study graph partitioning problems from a min-max perspective, in which an input graph on n vertices should be partitioned into k parts, and the objective is to minimize the maximum number of edges leaving a single part. The two main versions we consider are where the k parts need to be of equal-size, and where they must separate a set of k given terminals. We consider a common generalization of these two problems, and design for it an $O(\sqrt{\log n\log k})$-approximation algorithm. This improves over an $O(\log^2 n)$ approximation for the second version, and roughly $O(k\log n)$ approximation for the first version that follows from other previous work. We also give an improved O(1)-approximation algorithm for graphs that exclude any fixed minor. Our algorithm uses a new procedure for solving the Small-Set Expansion problem. In this problem, we are given a graph G and the goal is to find a non-empty set $S\subseteq V$ of size $|S| \leq ρn$ with minimum edge-expansion. We give an $O(\sqrt{\log{n}\log{(1/ρ)}})$ bicriteria approximation algorithm for the general case of Small-Set Expansion, and O(1) approximation algorithm for graphs that exclude any fixed minor.

研究の動機と目的

• min-max グラフ分割問題に対処し、$k$ 個の部分から生じる最大カットサイズを最小化することを目的とする。
• 等サイズ分割とターミナル分離の両方を含む一般化された問題を提示し、統一的な近似フレームワークを提供することを目的とする。
• 関連する変種に対する現在の最先端の $O(k \log n)$ および $O(\log^2 n)$ 近似を改善することを目的とする。
• 小集合拡張（SSE）問題に対するバイクリテリア近似を、$\rho$（小集合のサイズ割合）に依存する改善された依存関係で開発することを目的とする。
• 固定マイナーを含まないグラフに対して、定数近似を得ることを目的とし、そのようなグラフの構造的性質を活用する。

提案手法

• 一般グラフに対して $O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$ の近似因子を達成する小集合拡張（SSE）のバイクリテリア近似アルゴリズムを設計する。
• 部分数を段階的に減らす再帰的分割戦略を採用し、複数の段階で最小和 $k$-分割アルゴリズムを適用する。
• 各段階で、バランスを保ちつつコストを制限するため、最小和 $k$-分割のバイクリテリア近似を用いて部分を再帰的に分割する。
• 再帰の過程で部分のバランスを維持するため、ダミー頂点を導入し、最終的な分割がサイズ制約を満たすように保証する。
• すべての再帰段階におけるカットコストの合計が、$\alpha \cdot t \cdot \mathsf{OPT}$ で抑えられることを証明する。ここで $t = \Theta(\log \log k)$ であり、$\alpha$ は最小和近似因子である。
• 元の問題の最適解が部分インスタンスにおいても妥当な解を誘導することを活用し、段階間でのコスト分解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の $O(k \sqrt{\log n})$ の境界よりも、min-max $k$-分割の近似比を改善できるか？
• RQ2 等サイズ分割とターミナル分離の両方を統一的に扱えるフレームワークを開発できるか？
• RQ3 特に $\rho = 1/k$ のような小さな $\rho$ に対して、小集合拡張問題をより効果的に近似できるか、$\rho$ に依存する依存関係を改善できるか？
• RQ4 固定マイナーを含まないグラフに対して近似品質が著しく向上し、それが定数近似にまで改善できるか？
• RQ5 最小和近似アルゴリズムを再帰的に適用することで、段階間のコスト分解を通じて、より良い min-max 保証を得られるか？

主な発見

• 本稿は、min-max $k$-分割に対して $O(\sqrt{\log n \log k})$-近似を達成し、従来の $O(k \sqrt{\log n})$ の境界を大幅に改善した。
• 小集合拡張問題に対して、$O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$ のバイクリテリア近似を構築し、$\rho = 1/k$ の場合でも有効である。
• 固定マイナーを含まないグラフに対して、小集合拡張および min-max 分割の両方で定数近似を得た。
• 再帰的フレームワークにより、カットコストの合計が $\alpha \cdot \log \log k \cdot \mathsf{OPT}$ で抑えられることを保証した。ここで $\alpha$ は最小和近似因子である。
• 従来の方法の主要なボトルネックであった $k$ への依存関係を線形から対数的へと削減した。
• 最終的な分割において $O(1)$-バランスを維持し、各部分のサイズが $n/k$ の定数倍以内に収まることを保証した。