[論文レビュー] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces II -- General Morse index bounds and applications

Qiang Guang, Martin Man‐chun Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界を有するコンパクトなリーマン多様体における、Almgren-Pitts min-max理論を用いて構成された自由境界最小超曲面のモーレス指数について、次元3から7の一般上界を確立する。これらの指数推定値を用いて、任意の$C^\infty$リーマン計量に対して、すべてのコンパクトで適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面の和集合が多様体内で稠密であることを証明し、さらに平均凸性の追加仮定のもとで、無限個のこのような超曲面が存在することを示す。これは自由境界設定における楊の予想に対する一般解を与える。

ABSTRACT

For any smooth Riemannian metric on an $(n+1)$-dimensional compact manifold with boundary $(M,\partial M)$ where $3\leq (n+1)\leq 7$, we establish general upper bounds for the Morse index of free boundary minimal hypersurfaces produced by min-max theory in the Almgren-Pitts setting. We apply our Morse index estimates to prove that for almost every (in the $C^\infty$ Baire sense) Riemannan metric, the union of all compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces is dense in $M$. If $\partial M$ is further assumed to have a strictly mean convex point, we show the existence of infinitely many compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces whose boundaries are non-empty. Our results prove a conjecture of Yau for generic metrics in the free boundary setting.

研究の動機と目的

• 境界付きコンパクト多様体におけるAlmgren-Pitts min-max理論によって得られる自由境界最小超曲面のモーレス指数に対する一般上界を確立すること。
• 以前、Irie, Marques, Nevesにより証明された閉最小超曲面の一般稠密性結果を、自由境界設定に拡張すること。
• 一般計量における自由境界設定における無限個の最小超曲面の存在を解決すること。
• 境界付き多様体における$p$-幅理論における欠落している指数制御を補完し、Songによる楊の予想の証明における重要なギャップを埋めること。

提案手法

• min-max自由境界最小超曲面の一般モーレス指数上界を構築：超曲面が$k$次元ホモトピー類から生じる場合、そのモーレス指数は高々$k$である。
• 体積スペクトルのWeyl法則を適用して$p$-幅の成長を制御し、最小超曲面の存在と関連付ける。
• 対数的カットオフ関数のテクニックを用いて、境界条件を保ちつつ計量と超曲面を変形するベクトル場を構成する。
• Whiteのバンプ計量定理および構造定理を用いて、微小な計量摂動に対しても非退化性と超曲面の保存性を保証する。
• 滑らかに収束する計量の列$g_i$を$bumpy$計量$g'$に作り、微分同相写像を用いてほぼ適切に埋め込まれたFBMHを適切に埋め込まれたものに持ち上げる。
• 文献[11]のコンパクトネス定理と、任意の開集合と交わるようなほぼ適切に埋め込まれたFBMHを持つ計量の列の存在に依拠し、一般状況での稠密性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き多様体におけるAlmgren-Pitts min-max理論によって得られる自由境界最小超曲面について、一般モーレス指数上界を確立できるか？
• RQ2 境界付きコンパクト多様体上の一般$C^\infty$リーマン計量において、すべてのコンパクトで適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面の和集合が多様体内で稠密になるか？
• RQ3 境界に厳密に平均凸な点が存在する場合、それらの超曲面が無限個存在するか？
• RQ4 境界付き多様体における$p$-幅理論における欠落している指数制御を埋めることで、Songによる楊の予想の証明を簡略化できるか？
• RQ5 任意の固定された開集合と交わる自由境界最小超曲面を含む計量の集合は、$C^\infty$位相において開かつ稠密か？

主な発見

• min-maxによって$k$次元ホモトピー類から得られる自由境界最小超曲面のモーレス指数は高々$k$である。これは閉の場合の結果を一般化する。
• 境界付きコンパクト多様体上の一般$C^\infty$リーマン計量において、すべてのコンパクトで適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面の和集合は多様体内で稠密である。
• 境界に厳密に平均凸な点が存在する場合、空でない境界を持つコンパクトで適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面が無限個存在する。
• $p$-幅$\rho_p(M,g)$は一般計量において整数バリアントによって達成され、Songによる楊の予想の証明における欠落していた要素を補完する。
• 任意の固定された開集合と交わる自由境界最小超曲面を含む計量の集合は、$C^\infty$位相において開かつ稠密である。
• 計量$g_i$が$bumpy$計量$g'$に滑らかに収束する列と、それに伴う超曲面$\Sigma_i$の構成により、十分大きな$i$に対して$g_i$が任意の近傍にあり、かつ$\Sigma_i$が任意の固定された開集合と交わることが保証される。