[論文レビュー] Minimal cones and self-expanding solutions for mean curvature flows

Qi Ding|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の $C^{3,\bar{\alpha}}$ で平均凸だが面積最小でない錐に対して、その外部における滑らかで埋め込まれた自己拡張超曲面の存在と一意性を、重み付き $L^2$ 最小化とバリア技術を用いて確立する。主な結果は、正の平均曲率を持つこのような自己拡張超曲面による領域のファイブレーションを構成することにより、正則な最小だが面積最小でない錐について、ラウソンの予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

In this paper, we study self-expanding solutions for mean curvature flows and their relationship to minimal cones in Euclidean space. In [18], Ilmanen proved the existence of self-expanding hypersurfaces with prescribed tangent cones at infinity. If the cone is $C^{3,α}$-regular and mean convex (but not area-minimizing), we can prove that the corresponding self-expanding hypersurfaces are smooth, embedded, and have positive mean curvature everywhere (see Theorem 1.1). As a result, for regular minimal but not area-minimizing cones we can give an affirmative answer to a problem arisen by Lawson [4].

研究の動機と目的

• 最小錐の近傍における正の平均曲率をもつ滑らかで埋め込まれた超曲面の存在に関するラウソンが提起した問題を解決すること。
• 無限遠における指定された $C^{3,\alpha}$ 平均凸で面積最小でない接錐をもつ $E$-最小化自己拡張超曲面の存在を確立すること。
• このような自己拡張超曲面が滑らかで埋め込まれており、スケーリングによって領域をファイブレーションすることを証明すること。
• 面積最小でない錐の場合に一意性が成り立つが、面積最小の錐では一意性が成り立たないことを示すこと。このとき、与えられた正則性および凸性条件のもとで一意性が保たれることを確認すること。

提案手法

• 解の漸近的挙動を制御するため、回転対称なグラフィック自己拡張超曲面をバリアとして構成する。
• 関数 $\int_K e^{|X|^2/4} d\mu$ の重み付き $L^2$ 最小化を用いて $E$-最小化カレントを定義する。
• アラールの正則性定理を適用し、大きな球の外部で極限カレントの $C^{3,\alpha}$ 正則性を確立する。
• 平均曲率方程式 $\frac{1}{2}\langle X, \nu \rangle = H$ に対して最大原理を適用し、平均曲率の正値性および非退化性を証明する。
• スケーリングされた超曲面の交差挙動を矛盾によって除外するために、バリア比較および射影技術を用いる。
• 自己拡張カレントが錐に近い部分での挙動を制御するため、ジャコビ場の無限遠における漸近的減衰推定を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^{3,\alpha}$ 平均凸だが面積最小でない錐の外部に、正の平均曲率をもつ滑らかで埋め込まれた自己拡張超曲面が存在するか？
• RQ2 このような自己拡張超曲面は、$t>0$ に対して $\sqrt{t}M$ のスケーリングによって領域をファイブレーションするか？
• RQ3 同じ無限遠における接錐をもつ $E$-最小化解の中で、自己拡張超曲面は一意的か？
• RQ4 錐が面積最小である場合にはどうなるか？一意性は依然として成り立つか？
• RQ5 平均凸性および非最小性の仮定のもとで、$E$-最小化カレントの特異点を除外できるか？

主な発見

• 任意の $\mathbb{R}^{n+1}$ 内の $C^{3,\alpha}$ 平均凸だが面積最小でない錐 $C$ に対して、$C$ で囲まれた領域 $\Omega$ 内に、一意な滑らかで、完全で、埋め込まれた $E$-最小化自己拡張超曲面 $M$ が存在する。
• 自己拡張超曲面 $M$ は至る所で正の平均曲率をもち、$\Omega$ に適切に埋め込まれている。
• スケーリング族 $\mathcal{M}: t \mapsto \sqrt{t}M$ は、平均曲率フローによる $\Omega$ の滑らかなファイブレーションをなす。
• 錐が面積最小でないという仮定は本質的である：$C$ が面積最小であれば、$C$ に収束する任意の滑らかな自己拡張超曲面は、$C$ 自身でなければならない。
• 非最小性の条件がないと一般に一意性は成り立たないことが、イルマネンらの例によって示されている。
• 証明はバリア構成、平均曲率方程式における最大原理の適用、およびジャコビ場の無限遠における漸近的減衰推定に依存している。