[論文レビュー] Recent Progress on Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow

André Neves|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ラグランジュ的平均曲率流れにおける特異点形成の最近の進展を概説し、 blown-up 分析、自己拡張体、特異点の安定性に焦点を当てる。有限時間特異点が、カルラヤ多様体内のハミルトニアン同相なラグランジュ部分多様体に対しても発生しうることを示しており、王の予想に反するものであり、特異点モデルの分類や特異点以降の流れの延長に向けた洗練された解析的ツールの必要性を強調している。

ABSTRACT

We survey some of the state of the art regarding singularities in Lagrangian mean curvature flow. Some open problems are suggested at the end.

研究の動機と目的

• コンパクトなカルラヤ多様体におけるラグランジュ的平均曲率流れの特異点の形成と構造を分析すること。
• ハミルトニアン同相なラグランジュ部分多様体が常に特殊ラグランジュ部分多様体に流れつくという王の予想に反論すること。
• 特に有限時間特異点の blown-up に由来するものであるような、特異点における接錐の分類に役立つツールを開発すること。
• ラグランジュ的設定における自己拡張体および移動解の存在と一意性を調査すること。
• 最初の特異時刻以降に意味のある形で特異ラグランジュ流れを延長できる条件を提案すること。

提案手法

• 特異集合のサイズを制御するためのホワイトの正則性定理の適用。
• 特異点付近での流れの漸近的挙動を分析するための単調性公式の使用。
• 吹き上げ極限におけるラグランジュ的角の振動を制御するためのピオンカーレ型補題の使用。
• コンパクトネス結果を用いて、縮小された流れの部分列を収束させ、定常的または自己相似モデルを得ること。
• 吹き上げ極限の分析により、接錐が特定の交差性質を持つラグランジュ平面の和集合として同定されること。
• 移動解および自己拡張解の研究において、吹き下げ極限を用いて非自明な特異モデルを除外または分類すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカルラヤ多様体内において、ハミルトニアン同相な初期条件から出発するラグランジュ的平均曲率流れにおいて、有限時間特異点が発生しうるか？
• RQ2 ジョイス、リー、ツイによって構成されたもの以外の、ほぼカルラヤ的移動解がラグランジュ的平均曲率流れに存在するか？
• RQ3 C^n における2つの平面に漸近するゼロ・マスロフクラスの自己拡張体が、ジョイス、リー、ツイによって得られた自己拡張体と一致するか？
• RQ4 初期ラグランジュ部分多様体が特異点を持ち、その接錐が特殊ラグランジュ的錐で、重複度が1より大きい場合に、意味のあるラグランジュ的平均曲率流れの解を定義できるか？
• RQ5 C^2 内のラグランジュ的トーラスに対して、どのような条件下でその平均曲率流れが消滅し、クリフォード・トーラスにスケーリングするか？

主な発見

• ラグランジュ的角の振動が非常に小さく、無限遠で2つの平面に漸近する場合ですら、有限時間特異点は発生する。
• 王の予想（ハミルトニアン同相なラグランジュ部分多様体は常に特殊ラグランジュ部分多様体に流れつく）は、4次元のカルラヤ多様体内に反例を構成することで誤りであると示された。
• 特異点における吹き上げ極限はラグランジュ平面の和集合であり、ほぼカルラヤ的条件下では、交わりが横断的（dim(P1 ∩ P2) = 1）である場合が除外される。
• 移動解の吹き下げは弱収束し、C における自己拡張体と直線の積である自己拡張極限に収束する。この自己拡張体は複数の平面に漸近する。
• 特異点と特殊ラグランジュ錐を接錐とするゼロ・マスロフクラスのラグランジュ部分多様体に対して、ベーハンドトは錐が安定で重複度1の場合に進展を遂げたが、重複度2の場合は未解決のままである。
• コンパクトなラグランジュ部分多様体が C^n 内で平均曲率流れに従うときの収束に関する既知の結果はなく、クリフォード・トーラスの小さなハミルトニアン摂動の挙動も未解決の問題のままである。