[論文レビュー] Minimal dimension faithful linear representations of common finitely presented groups

J. O. Button|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素数体および正の特性を持つ体上の、有限生成表示をもつ群、特に右角アーベル群と自由部巡回群の、忠実な線形表現の最小次元を決定する。Gerstenの自由部巡回群が、複素数体上では次元 ≤4 の忠実な線形表現をもたないことを証明し、正の特性を持つ体上では、いかなる次元の忠実な表現とも持たないことを示している。

ABSTRACT

For various finitely presented groups, including right angled Artin groups and free by cyclic groups, we investigate what is the smallest dimension of a faithful linear representation. This is done both over C and over fields of positive characteristic. In particular we show that Gersten's free by cyclic group has no faithful linear representation of dimension 4 or less over C, but has no faithful linear representation of any dimension over fields of positive characteristic.

研究の動機と目的

• さまざまな有限生成表示をもつ群の忠実な線形表現の最小次元を決定すること。
• 右角アーベル群および自由部巡回群の、異なる体上の表現論を分析すること。
• Gerstenの自由部巡回群が、複素数体および正の特性を持つ体上で忠実な線形表現をもつかどうかを調査すること。
• さまざまな代数的設定における忠実な表現の次元の上限と非存在結果を確立すること。

提案手法

• 有限生成表示をもつ群の構造を分析するために表現論的技法を用いる。
• 群の表示と線形表現の性質を用いて、可能な次元に制約を導く。
• 線形代数および体論の結果を応用し、複素数体および正の特性を持つ体上の表現を検討する。
• ベクトル空間への群作用を分析して、忠実性および次元の最小性を特定する。
• 残余有限性および線形性に関する既知の結果を活用し、低次元表現の除外を図る。
• 背理法を用いて、特定の設定における忠実な表現の非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gerstenの自由部巡回群は、複素数体上での忠実な線形表現の最小次元は何か？
• RQ2 Gerstenの自由部巡回群は、正の特性を持つ体上で、いかなる忠実な線形表現とも持つか？
• RQ3 右角アーベル群と他の有限生成表示をもつ群との間で、最小忠実表現次元はどのように比較されるか？
• RQ4 群のどの構造的性質が、低次元での忠実な線形表現の不可能をもたらすか？
• RQ5 複素数体と正の特性を持つ体との間で、群の表現論に根本的な違いはあるか？

主な発見

• Gerstenの自由部巡回群は、複素数体上では次元4以下の忠実な線形表現をもたない。
• この群は、正の特性を持つ体上では、いかなる次元の忠実な線形表現とも持たない。
• 右角アーベル群は忠実な線形表現をもつことが示されたが、本研究では最小次元が完全に分類されていない。
• 同じ群が複素数体上と正の特性を持つ体上で示す表現行動の明確な違いが確立された。
• 結果として、ある種の群が有限生成表示をもつにもかかわらず、正の特性を持つ体上では線形的でないことが示された。
• 本稿は、正の特性におけるGerstenの群について、すべての次元で完全な障害結果を提供し、非線形性を証明した。