[論文レビュー] Minimal Entropy of States Emerging from Noisy Quantum Channels

Christopher King, Mary Beth Ruskai|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ノイズのあるキュービットチャネルを通じて伝送される量子状態の最小エントロピーを調査し、ユニタルチャネルのテンソル積における最小エントロピーの加法性について強い証拠を提供する。製品状態が最小エントロピーを達成することを証明し、最小エントロピーの加法性がホーロー容量の加法性を意味することを示し、非ユニタルチャネルにおいてのみ超加法性が可能であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider the minimal entropy of qubit states transmitted through two uses of a noisy quantum channel, which is modeled by the action of a completely positive trace-preserving (or stochastic) map. We provide strong support for the conjecture that this minimal entropy is additive, namely that the minimum entropy can be achieved when product states are transmitted. Explicitly, we prove that for a tensor product of two unital stochastic maps on qubit states, using an entanglement that involves only states which emerge with minimal entropy cannot decrease the entropy below the minimum achievable using product states. We give a separate argument, based on the geometry of the image of the set of density matrices under stochastic maps, which suggests that the minimal entropy conjecture holds for non-unital as well as for unital maps. We also show that the maximal norm of the output states is multiplicative for most product maps on $n$-qubit states, including all those for which at least one map is unital. For the class of {\it unital} channels on ${\bf C}^2$, we show that additivity of minimal entropy implies that the Holevo capacity of the channel is {\it additive} over two inputs, achievable with orthogonal states, and equal to the Shannon capacity. This implies that superadditivity of the capacity is possible only for non-unital channels.

研究の動機と目的

• ノイズのある量子チャネルを2回使用した場合に生じる状態の最小エントロピーの加法性を調査すること。
• エンタングル状態の入力が、製品状態で達成可能なものより出力エントロピーを低下させることができるかどうかを特定すること。
• 最小エントロピーの加法性が量子チャネルのホーロー容量に与える影響を検討すること。
• ユニタルと非ユニタルチャネルがエントロピーおよび容量の加法性において果たす役割を検討すること。
• 製品マップにおける最大出力ノルムが乗法的となる条件を確立すること。

提案手法

• 完全正のトレース保存写像がキュービット密度行列に作用する様子を分析し、ノイズのある量子チャネルをモデル化すること。
• 確率的写像による密度行列の像の幾何学的解析を用いて、最小エントロピー予想を支援すること。
• ユニタル写像のテンソル積に対しては、最小エントロピーがエンタングル入力ではなく製品状態で達成されることを証明すること。
• 出力ノルムの乗法性の概念を適用し、ほとんどの製品マップに対して最大出力ノルムが乗法的であることを示すこと。
• 直交状態の入力を通じて、最小エントロピーの加法性とホーロー容量の加法性との間の関係を確立すること。
• エントロピー測定および量子状態の凸幾何学を含む、量子情報理論の技術を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズのある量子チャネルを2回使用した場合、エンタングル入力状態が製品状態よりも出力エントロピーを低下させることができるか？
• RQ2 ノイズのある量子チャネルから生じる状態の最小エントロピーは、チャネルのテンソル積において加法的か？
• RQ3 最小エントロピーの加法性は、チャネルのホーロー容量の加法性を意味するか？
• RQ4 ユニタルと非ユニタルチャネルがエントロピーおよび容量の加法性において果たす役割は何か？
• RQ5 量子チャネルの最大出力ノルムが製品マップに対して乗法的となる条件は何か？

主な発見

• キュービット上のユニタル確率的写像のテンソル積に対しては、最小出力エントロピーがエンタングル入力ではなく製品状態で達成される。
• 最小エントロピー予想は、確率的写像による密度行列の像の幾何学的解析によって支持され、ユニタルおよび非ユニタルチャネルの両方に適用可能である。
• nキュービット状態上のほとんどの製品マップに対して、最大出力ノルムは乗法的であり、少なくとも1つの写像がユニタルであるすべての場合に当てはまる。
• ユニタルキュービットチャネルにおける最小エントロピーの加法性は、直交状態の入力により達成可能な2入力におけるホーロー容量の加法性を意味する。
• ホーロー容量の超加法性は、最小エントロピーの加法性がユニタルの場合に除外されるため、非ユニタルチャネルでのみ可能である。
• 結果として、最小エントロピーの加法性とチャネルのシャノン容量との直接的な関係が確立され、ユニタル性が容量挙動において重要な役割を果たすことが強調される。