[論文レビュー] Minimal geodesic foliation on T^2 in case of vanishing topological entropy

Eva Glasmachers, Gerhard Knieper|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルエントロピーがゼロであるリーマン2次元トーラス上では、任意の回転数 r ∈ ℝ ∪ {∞} に対して、普遍被覆 ℝ² が、 globally minimizing geodesics によって foliated されることを確立している。無理数 r の場合、foliation は一意的であり、その回転数を持つすべての geodesics は minimal かつ格子平行移動に関して自己交差しない。有理数 r の場合、一意性は度々度が平坦である場合にのみ成り立つ。この結果は、curve-shortening 技法を用いて、Aubry-Mather 理論を geodesic flows へと拡張するものである。

ABSTRACT

On a Riemannian 2-torus $(T^2,g)$ we study the geodesic flow in the case of low complexity described by zero topological entropy. We show that this assumption implies a nearly integrable behavior. In our previous paper \cite{GK} we already obtained that the asymptotic direction and therefore also the rotation number exists for all geodesics. In this paper we show that for all $r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ the universal cover $\Br^2$ is foliated by minimal geodesics of rotation number $r$. For irrational $r \in \mathbb{R}$ all geodesics are minimal, for rational $r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ all geodesics stay in strips between neighboring minimal axes. In such a strip the minimal geodesics are asymptotic to the neighboring minimal axes and generate two foliations.

研究の動機と目的

• トポロジカルエントロピーがゼロのとき、2次元トーラス上の geodesic flow の構造を特徴づけること。
• 軌道の複雑さが存在しないことは、minimal geodesic foliation の形でほぼ可積分構造を示唆するかを特定すること。
• トポロジカルエントロピーがゼロの下で、任意の回転数 r ∈ ℝ ∪ {∞} に対して minimal geodesic foliation の存在と一意性を確立すること。
• このような foliation の一意性と度の平坦性との関係を明確にすること。
• Aubry-Mather 理論における単調ねじり写像の結果を、geodesic flows における幾何的フロー技法を用いて T² 上に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、geodesic セグメントの全般的な制御とその交差パターンの解析に、curve-shortening flow を用いる。
• geodesics に対して漸近的向きと回転数を定義し、既存の結果を用いて存在を証明し、foliation 構造へと拡張する。
• 回転数 r を持つ geodesics の集合 S_x^r の境界を分析することで、境界 geodesics が minimal であり、隣接する minimal 軸に漸近的であることを示す。
• 定理 3.4 と系 3.3 を適用し、ストリップ内の内部点が minimal レイを含まないことを証明することで、foliation 構造を保証する。
• 位相的同相性不変性と minimal geodesics の性質を用いて、無理数 r の場合、foliation が一意的であり、geodesics が ℤ² による非自明な平行移動で自己交差しないことを示す。
• 無理数と有理数の回転数の違いを区別し、有理数の foliation が度が平坦である場合にのみ一意的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラス T² 上で、任意の回転数 r ∈ ℝ ∪ {∞} に対して minimal geodesic foliation が存在することは、geodesic flow のトポロジカルエントロピーがゼロであることを示唆するか？
• RQ2 T² 上のリーマン度がトポロジカルエントロピーがゼロであるとき、非一意的な minimal geodesic foliation を持つ有理数回転数は有限個に限るか？
• RQ3 このようなトーラス上の geodesic flow は、Liouville-Arnold 意味で可積分か？
• RQ4 すべての有理数 r に対して minimal geodesic foliation が一意的であることは、度が平坦であることを示唆するか？
• RQ5 Liouville 度以外の度で、T² 上に可積分 geodesic flow を持つものは存在するか？

主な発見

• 任意の r ∈ ℝ ∪ {∞} に対して、2次元トーラスの普遍被覆 ℝ² は、回転数 r の globally minimizing geodesics によって foliated される。
• r が無理数のとき、foliation は一意的であり、その回転数を持つすべての geodesics は minimal であり、ℤ² による非自明な平行移動で自己交差しない。
• 有理数 r の場合、foliation が一意的であることは度が平坦であることと同値であり、非平坦度では同じ有理数回転数に対して複数の異なる foliation が存在する。
• 有理数回転数 r を持つ隣接する minimal 軸の間のストリップ内では、minimal geodesics は境界軸に漸近的であり、2つの異なる foliation を生成する。
• すべての回転数 r に対して minimal geodesic foliation が存在することは、geodesic flow がカオス的でないことを示唆し、トポロジカルエントロピーがゼロであることに整合的である。
• T² 上でトポロジカルエントロピーがゼロであるとわかっている唯一の度は、ds² = (f(x) + g(y))(dx² + dy²) の形の Liouville 度であり、その中で非一意的 foliation が現れるのは f や g が非定数のとき、方向 (1,0) と (0,1) のみに限る。